Номер 1.102, страница 52, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.102. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной следующими кривыми:

1) $\begin{cases} f(x) = x^2, \\ g(x) = 2x - x^2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} f(x) = \frac{1}{2}x^2, \\ g(x) = 4 - x; \end{cases}$

3) $\begin{cases} f(x) = \sqrt{x}, \\ g(x) = x; \end{cases}$

4) $\begin{cases} f(x) = 2\sqrt{x}, \\ x = 1, \\ x = 9. \end{cases}$

1) Площадь фигуры, ограниченной кривыми $f(x) = x^2$ и $g(x) = 2x - x^2$, вычисляется как интеграл от разности функций. Сначала найдем точки пересечения кривых, чтобы определить пределы интегрирования: $f(x) = g(x) \implies x^2 = 2x - x^2 \implies 2x^2 - 2x = 0 \implies 2x(x - 1) = 0$. Отсюда получаем $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Это наши пределы интегрирования. Теперь определим, какая из функций больше на интервале $(0, 1)$. Возьмем пробную точку, например, $x=0.5$: $f(0.5) = (0.5)^2 = 0.25$; $g(0.5) = 2(0.5) - (0.5)^2 = 1 - 0.25 = 0.75$. Так как $g(x) > f(x)$ на интервале $(0, 1)$, площадь $\text{S}$ вычисляется по формуле: $S = \int_{0}^{1} (g(x) - f(x)) \,dx = \int_{0}^{1} ((2x - x^2) - x^2) \,dx = \int_{0}^{1} (2x - 2x^2) \,dx$. Вычисляем интеграл: $S = \left[ 2\frac{x^2}{2} - 2\frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \left[ x^2 - \frac{2}{3}x^3 \right]_{0}^{1} = (1^2 - \frac{2}{3}\cdot1^3) - (0^2 - \frac{2}{3}\cdot0^3) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

2) Найдем площадь фигуры, ограниченной параболой $f(x) = \frac{1}{2}x^2$ и прямой $g(x) = 4 - x$. Сначала определим пределы интегрирования, найдя точки пересечения графиков: $\frac{1}{2}x^2 = 4 - x \implies x^2 = 8 - 2x \implies x^2 + 2x - 8 = 0$. Решаем квадратное уравнение, например, с помощью дискриминанта $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2}$. Получаем $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$. На интервале $(-4, 2)$ определим, какая функция больше. Возьмем $x=0$: $f(0) = 0$, $g(0) = 4$. Так как $g(x) > f(x)$ на интервале $(-4, 2)$, площадь равна: $S = \int_{-4}^{2} (g(x) - f(x)) \,dx = \int_{-4}^{2} \left(4 - x - \frac{1}{2}x^2\right) \,dx$. Вычисляем интеграл: $S = \left[ 4x - \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}\frac{x^3}{3} \right]_{-4}^{2} = \left[ 4x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} \right]_{-4}^{2}$ $= \left(4(2) - \frac{2^2}{2} - \frac{2^3}{6}\right) - \left(4(-4) - \frac{(-4)^2}{2} - \frac{(-4)^3}{6}\right)$ $= \left(8 - 2 - \frac{8}{6}\right) - \left(-16 - \frac{16}{2} - \frac{-64}{6}\right) = \left(6 - \frac{4}{3}\right) - \left(-16 - 8 + \frac{32}{3}\right)$ $= \left(\frac{18-4}{3}\right) - \left(\frac{-72+32}{3}\right) = \frac{14}{3} - \left(-\frac{40}{3}\right) = \frac{14+40}{3} = \frac{54}{3} = 18$.

Ответ: $18$.

3) Найдем площадь фигуры, ограниченной кривыми $f(x) = \sqrt{x}$ и $g(x) = x$. Найдем точки пересечения, чтобы определить пределы интегрирования: $\sqrt{x} = x \implies x = x^2$ (при условии $x \ge 0$) $\implies x^2 - x = 0 \implies x(x-1)=0$. Точки пересечения: $x=0$ и $x=1$. На интервале $(0, 1)$ сравним значения функций. Возьмем $x=0.25$: $f(0.25) = \sqrt{0.25} = 0.5$, $g(0.25) = 0.25$. Так как $f(x) > g(x)$ на $(0, 1)$, площадь вычисляется как: $S = \int_{0}^{1} (f(x) - g(x)) \,dx = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x) \,dx = \int_{0}^{1} (x^{1/2} - x) \,dx$. Вычисляем интеграл: $S = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \left(\frac{2}{3}\cdot1^{3/2} - \frac{1^2}{2}\right) - 0 = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4-3}{6} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

4) Требуется найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой $f(x) = 2\sqrt{x}$ и прямыми $x=1$, $x=9$ и осью абсцисс (поскольку $f(x) \ge 0$ на данном отрезке). Площадь вычисляется как определенный интеграл от функции $f(x)$ в заданных пределах от $a=1$ до $b=9$: $S = \int_{1}^{9} 2\sqrt{x} \,dx = \int_{1}^{9} 2x^{1/2} \,dx$. Вычисляем интеграл: $S = 2 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{9} = 2 \cdot \frac{2}{3} \left[ x^{3/2} \right]_{1}^{9} = \frac{4}{3} (9^{3/2} - 1^{3/2})$. Так как $9^{3/2} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27$ и $1^{3/2} = 1$, получаем: $S = \frac{4}{3} (27 - 1) = \frac{4}{3} \cdot 26 = \frac{104}{3}$.

Ответ: $\frac{104}{3}$.