Номер 1.101, страница 52, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.101. Изобразите трапецию, ограниченную указанными линиями, и найдите ее площадь:

1) $ \begin{cases} y = \frac{1}{9} x^2, \\ y = x; \end{cases} $

2)$ \begin{cases} y = x^2 + 4, \\ y = 6 - x; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} y = 2x^2 - x, \\ y = x. \end{cases} $

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{9}x^2$ и $y = x$, необходимо сначала найти точки их пересечения. Для этого приравниваем выражения для $\text{y}$:

$\frac{1}{9}x^2 = x$

$x^2 - 9x = 0$

$x(x - 9) = 0$

Абсциссы точек пересечения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 9$. Это будут пределы интегрирования.

На интервале $(0, 9)$ нужно определить, какая функция является верхней, а какая нижней. Возьмем для проверки значение $x=3$. Для прямой $y = x$ получаем $y=3$. Для параболы $y = \frac{1}{9}x^2$ получаем $y = \frac{1}{9}(3^2) = 1$. Так как $3 > 1$, график прямой $y=x$ находится выше графика параболы $y=\frac{1}{9}x^2$ на данном интервале.

Площадь $\text{S}$ фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{0}^{9} (x - \frac{1}{9}x^2) dx$

Теперь вычислим определенный интеграл:

$S = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{1}{9}\frac{x^3}{3} \right]_{0}^{9} = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{27} \right]_{0}^{9}$

$S = \left( \frac{9^2}{2} - \frac{9^3}{27} \right) - \left( \frac{0^2}{2} - \frac{0^3}{27} \right) = \frac{81}{2} - \frac{729}{27} = 40.5 - 27 = 13.5$

Ответ: $13.5$

2) Найдем площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 + 4$ и прямой $y = 6 - x$. Найдем точки пересечения, решив уравнение:

$x^2 + 4 = 6 - x$

$x^2 + x - 2 = 0$

Решая квадратное уравнение (например, по теореме Виета), находим корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$. Это пределы интегрирования.

На интервале $(-2, 1)$ определим, какая функция больше. Возьмем пробную точку $x=0$. Для прямой $y = 6 - 0 = 6$. Для параболы $y = 0^2 + 4 = 4$. Так как $6 > 4$, прямая $y=6-x$ является верхней границей, а парабола $y=x^2+4$ - нижней.

Площадь $\text{S}$ фигуры вычисляется как интеграл от разности функций:

$S = \int_{-2}^{1} ((6 - x) - (x^2 + 4)) dx = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) dx$

Вычисляем интеграл:

$S = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{1}$

$S = \left( -\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2(1) \right) - \left( -\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2(-2) \right)$

$S = \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right) - \left( \frac{8}{3} - 2 - 4 \right) = \left( \frac{-2-3+12}{6} \right) - \left( \frac{8}{3} - 6 \right)$

$S = \frac{7}{6} - \left( \frac{8-18}{3} \right) = \frac{7}{6} - \left( -\frac{10}{3} \right) = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: $4.5$

3) Найдем площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 2x^2 - x$ и прямой $y = x$. Сначала найдем абсциссы точек пересечения:

$2x^2 - x = x$

$2x^2 - 2x = 0$

$2x(x - 1) = 0$

Абсциссы точек пересечения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Это пределы интегрирования.

На интервале $(0, 1)$ определим, какая из функций является верхней. Возьмем пробную точку $x=0.5$. Для прямой $y=x$ получаем $y=0.5$. Для параболы $y = 2x^2 - x$ получаем $y = 2(0.5)^2 - 0.5 = 2(0.25) - 0.5 = 0.5 - 0.5 = 0$. Так как $0.5 > 0$, прямая $y=x$ является верхней границей, а парабола $y=2x^2-x$ - нижней.

Площадь $\text{S}$ фигуры вычисляется как интеграл от разности функций:

$S = \int_{0}^{1} (x - (2x^2 - x)) dx = \int_{0}^{1} (2x - 2x^2) dx$

Вычисляем интеграл:

$S = \left[ 2\frac{x^2}{2} - 2\frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \left[ x^2 - \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{1}$

$S = \left( 1^2 - \frac{2 \cdot 1^3}{3} \right) - \left( 0^2 - \frac{2 \cdot 0^3}{3} \right) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$