Номер 1.94, страница 50, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.94. Изобразите трапецию, ограниченную указанными линиями, и вычислите ее площадь геометрическим способом:

$\begin{cases} y = x + 1, \\ x = 1, \\ x = 0. \end{cases}$

Фигура ограничена линиями $y = x + 1$, $x = 1$ и $x = 0$. Для построения замкнутой фигуры на плоскости (трапеции, как указано в условии) необходимо также учесть ось абсцисс, то есть прямую $y = 0$. Таким образом, фигура представляет собой трапецию, ограниченную четырьмя прямыми: $y = x + 1$, $x = 0$ (ось OY), $x = 1$ и $y = 0$ (ось OX).

Чтобы изобразить трапецию и вычислить её площадь, найдем координаты её вершин. Вершины являются точками пересечения ограничивающих линий:

- Пересечение прямых $x=0$ и $y=0$ дает вершину в точке $(0, 0)$.

- Пересечение прямых $x=1$ и $y=0$ дает вершину в точке $(1, 0)$.

- Пересечение прямых $x=1$ и $y=x+1$ дает вершину в точке $(1, 2)$, так как при $x=1$ получаем $y = 1+1=2$.

- Пересечение прямых $x=0$ и $y=x+1$ дает вершину в точке $(0, 1)$, так как при $x=0$ получаем $y = 0+1=1$.

Итак, мы получили трапецию с вершинами в точках $(0, 0)$, $(1, 0)$, $(1, 2)$ и $(0, 1)$.

Основаниями трапеции являются ее параллельные стороны. В нашем случае это вертикальные отрезки. Первый отрезок лежит на прямой $x=0$ (ось OY) и соединяет точки $(0, 0)$ и $(0, 1)$. Второй отрезок лежит на прямой $x=1$ и соединяет точки $(1, 0)$ и $(1, 2)$. Так как прямые $x=0$ и $x=1$ параллельны, эти отрезки являются основаниями трапеции.

Найдем длины оснований и высоту:

- Длина первого основания $\text{a}$ (на оси OY) равна $1 - 0 = 1$.

- Длина второго основания $\text{b}$ (на прямой $x=1$) равна $2 - 0 = 2$.

- Высота $\text{h}$ трапеции — это перпендикулярное расстояние между основаниями, то есть расстояние между прямыми $x=0$ и $x=1$, которое равно $1 - 0 = 1$.

Площадь трапеции вычисляется по стандартной геометрической формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Подставляя найденные значения, получаем: $S = \frac{1+2}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: $1.5$