Номер 1.81, страница 47, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.81. Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница, вычислите значение определенного интеграла:

1) $\int_{-5}^{5} 10x^3 dx;$

2) $\int_{-1}^{6} 6x(x-1)dx;$

3) $\int_{-1}^{3} (3x^2-5)dx;$

4) $\int_{-2}^{1} (12x^5-36)dx;$

5) $\int_{-1}^{1} (x^4+x^2)dx;$

6) $\int_{-5}^{4} x^2dx.$

1) Для вычисления интеграла $ \int_{-5}^{5} 10x^3 dx $ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 10x^3$:

$ F(x) = \int 10x^3 dx = 10 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 10 \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{5}{2}x^4 $.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница, подставив пределы интегрирования:

$ \int_{-5}^{5} 10x^3 dx = \left. \frac{5}{2}x^4 \right|_{-5}^{5} = F(5) - F(-5) = \frac{5}{2}(5)^4 - \frac{5}{2}(-5)^4 = \frac{5}{2} \cdot 625 - \frac{5}{2} \cdot 625 = 0 $.

Также можно отметить, что подынтегральная функция $ f(x) = 10x^3 $ является нечетной, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, поэтому значение определенного интеграла равно нулю.

Ответ: $\text{0}$

2) Вычислим интеграл $ \int_{-1}^{6} 6x(x-1) dx $. Сначала упростим подынтегральное выражение: $ 6x(x-1) = 6x^2 - 6x $.

Найдем первообразную для $ f(x) = 6x^2 - 6x $:

$ F(x) = \int (6x^2 - 6x) dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 6 \cdot \frac{x^2}{2} = 2x^3 - 3x^2 $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{-1}^{6} (6x^2 - 6x) dx = \left. (2x^3 - 3x^2) \right|_{-1}^{6} = (2 \cdot 6^3 - 3 \cdot 6^2) - (2 \cdot (-1)^3 - 3 \cdot (-1)^2) = (2 \cdot 216 - 3 \cdot 36) - (2 \cdot (-1) - 3 \cdot 1) = (432 - 108) - (-2 - 3) = 324 - (-5) = 329 $.

Ответ: $329$

3) Вычислим интеграл $ \int_{-1}^{3} (3x^2 - 5) dx $.

Найдем первообразную для $f(x) = 3x^2 - 5$:

$ F(x) = \int (3x^2 - 5) dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 5x = x^3 - 5x $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{-1}^{3} (3x^2 - 5) dx = \left. (x^3 - 5x) \right|_{-1}^{3} = (3^3 - 5 \cdot 3) - ((-1)^3 - 5 \cdot (-1)) = (27 - 15) - (-1 + 5) = 12 - 4 = 8 $.

Ответ: $\text{8}$

4) Вычислим интеграл $ \int_{-2}^{1} (12x^5 - 36) dx $.

Найдем первообразную для $f(x) = 12x^5 - 36$:

$ F(x) = \int (12x^5 - 36) dx = 12 \cdot \frac{x^6}{6} - 36x = 2x^6 - 36x $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{-2}^{1} (12x^5 - 36) dx = \left. (2x^6 - 36x) \right|_{-2}^{1} = (2 \cdot 1^6 - 36 \cdot 1) - (2 \cdot (-2)^6 - 36 \cdot (-2)) = (2 - 36) - (2 \cdot 64 + 72) = -34 - (128 + 72) = -34 - 200 = -234 $.

Ответ: $-234$

5) Вычислим интеграл $ \int_{-1}^{1} (x^4 + x^2) dx $.

Найдем первообразную для $f(x) = x^4 + x^2$:

$ F(x) = \int (x^4 + x^2) dx = \frac{x^5}{5} + \frac{x^3}{3} $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{-1}^{1} (x^4 + x^2) dx = \left. \left(\frac{x^5}{5} + \frac{x^3}{3}\right) \right|_{-1}^{1} = \left(\frac{1^5}{5} + \frac{1^3}{3}\right) - \left(\frac{(-1)^5}{5} + \frac{(-1)^3}{3}\right) = \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{3}\right) - \left(-\frac{1}{5} - \frac{1}{3}\right) = \left(\frac{3+5}{15}\right) - \left(-\frac{3+5}{15}\right) = \frac{8}{15} - \left(-\frac{8}{15}\right) = \frac{8}{15} + \frac{8}{15} = \frac{16}{15} $.

Ответ: $\frac{16}{15}$

6) Вычислим интеграл $ \int_{-5}^{4} x^2 dx $.

Найдем первообразную для $f(x) = x^2$:

$ F(x) = \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{-5}^{4} x^2 dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{-5}^{4} = \frac{4^3}{3} - \frac{(-5)^3}{3} = \frac{64}{3} - \left(\frac{-125}{3}\right) = \frac{64}{3} + \frac{125}{3} = \frac{64+125}{3} = \frac{189}{3} = 63 $.

Ответ: $63$