Номер 2.6, страница 82, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.6. Для того чтобы выяснить, сколько времени школьники тратят на дорогу от дома до школы, был проведен опрос 60 учеников школы. Получили следующие данные (в минутах): 12 15 16 8 10 17 25 34 42 18 24 18 45 33 38 45 40 3 20 12 10 10 27 16 37 45 15 16 26 32 35 8 14 18 15 27 19 32 6 12 14 20 10 16 14 28 31 21 25 8 32 46 14 15 20 18 8 10 25 22. Найдите выборочное среднее (с помощью калькулятора) и медиану, поясните их смысл.

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги: найти выборочное среднее, найти медиану и пояснить их статистический смысл.

Исходные данные (время в минутах для 60 учеников):

12, 15, 16, 8, 10, 17, 25, 34, 42, 18, 24, 18, 45, 33, 38, 45, 40, 3, 20, 12, 10, 10, 27, 16, 37, 45, 15, 16, 26, 32, 35, 8, 14, 18, 15, 27, 19, 32, 6, 12, 14, 20, 10, 16, 14, 28, 31, 21, 25, 8, 32, 46, 14, 15, 20, 18, 8, 10, 25, 22.

Выборочное среднее

Выборочное среднее (или среднее арифметическое) — это сумма всех значений в выборке, деленная на их количество. Формула для расчета: $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$, где $x_i$ — это значения из выборки, а $\text{n}$ — объем выборки.

1. Найдем сумму всех значений. Объем выборки $n = 60$.

Сумма = $12 + 15 + 16 + 8 + 10 + 17 + 25 + 34 + 42 + 18 + 24 + 18 + 45 + 33 + 38 + 45 + 40 + 3 + 20 + 12 + 10 + 10 + 27 + 16 + 37 + 45 + 15 + 16 + 26 + 32 + 35 + 8 + 14 + 18 + 15 + 27 + 19 + 32 + 6 + 12 + 14 + 20 + 10 + 16 + 14 + 28 + 31 + 21 + 25 + 8 + 32 + 46 + 14 + 15 + 20 + 18 + 8 + 10 + 25 + 22 = 1352$.

2. Разделим сумму на количество учеников: $\bar{x} = \frac{1352}{60} \approx 22.53$ минуты.

Смысл выборочного среднего: Среднее время, которое школьник из данной группы тратит на дорогу до школы, составляет примерно 22.53 минуты. Это значение показывает, сколько времени уходило бы у каждого ученика на дорогу, если бы общее затраченное всеми время было распределено между ними поровну.

Ответ: выборочное среднее равно примерно 22.53 минуты.

Медиана

Медиана — это значение, которое делит упорядоченный ряд данных на две равные части. Если количество элементов четное, медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов.

1. Упорядочим все 60 значений по возрастанию:

3, 6, 8, 8, 8, 8, 10, 10, 10, 10, 10, 12, 12, 12, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 17, 18, 18, 18, 18, 19, 20, 20, 20, 21, 22, 24, 25, 25, 25, 26, 27, 27, 28, 31, 32, 32, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 40, 42, 45, 45, 45, 46.

2. Так как объем выборки $n = 60$ (четное число), медиана будет равна среднему арифметическому двух центральных элементов, стоящих на позициях $\frac{n}{2}$ и $\frac{n}{2} + 1$.

Это 30-й и 31-й элементы ряда.

3. Из упорядоченного ряда видим, что 30-й элемент равен 18, и 31-й элемент тоже равен 18.

4. Вычисляем медиану: $M_e = \frac{18 + 18}{2} = 18$ минут.

Смысл медианы: Медиана, равная 18 минутам, означает, что половина опрошенных школьников (30 человек) тратят на дорогу до школы 18 минут или меньше, а другая половина (30 человек) — 18 минут или больше. Медиана является более устойчивой к выбросам (слишком большим или слишком маленьким значениям) характеристикой центральной тенденции, чем среднее. В данном случае среднее (22.53) больше медианы (18), что указывает на наличие учеников, которые тратят на дорогу значительно больше времени, чем большинство.

Ответ: медиана равна 18 минут.