Номер 2.3.2, страница 35 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2.3.2. В цепь переменного тока с частотой $400 \text{ Гц}$ включена катушка индуктивностью $0,1 \text{ Гн}$. Конденсатор какой емкости надо включить в эту цепь, чтобы осуществился резонанс? (Ответ: $1,6 \text{ мкФ}$.)

Дано:

Частота переменного тока, $f = 400$ Гц
Индуктивность катушки, $L = 0,1$ Гн
Данные представлены в системе СИ.

Найти:

Емкость конденсатора, $C$

Решение:

Резонанс в колебательном контуре (цепи переменного тока, содержащей катушку индуктивности и конденсатор) наступает, когда индуктивное сопротивление $X_L$ становится равным емкостному сопротивлению $X_C$.

Индуктивное сопротивление определяется формулой: $X_L = \omega L$, где $\omega$ - циклическая (угловая) частота тока.

Емкостное сопротивление определяется формулой: $X_C = \frac{1}{\omega C}$

Условие резонанса: $X_L = X_C$ $\omega L = \frac{1}{\omega C}$

Циклическая частота $\omega$ связана с линейной частотой $f$ соотношением: $\omega = 2 \pi f$

Подставим это выражение в условие резонанса: $(2 \pi f) L = \frac{1}{(2 \pi f) C}$

Выразим из этой формулы искомую емкость $C$: $C = \frac{1}{(2 \pi f)^2 L} = \frac{1}{4 \pi^2 f^2 L}$

Подставим числовые значения из условия задачи: $C = \frac{1}{4 \pi^2 (400 \text{ Гц})^2 (0,1 \text{ Гн})} = \frac{1}{4 \pi^2 \cdot 160000 \cdot 0,1} \text{ Ф}$

$C = \frac{1}{64000 \pi^2} \text{ Ф}$

Примем значение $\pi^2 \approx 9,87$: $C \approx \frac{1}{64000 \cdot 9,87} \text{ Ф} \approx \frac{1}{631680} \text{ Ф} \approx 1,583 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Переведем фарады в микрофарады, зная, что $1 \text{ мкФ} = 10^{-6} \text{ Ф}$: $C \approx 1,583 \text{ мкФ}$

Округлив до десятых, получаем результат, указанный в ответе к задаче.

Ответ: $1,6 \text{ мкФ}$.