Номер 2.3.3, страница 35 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2.3.3. Конденсатор емкостью $2,4 \cdot 10^3$ пФ соединен с катушкой индуктивности 32 мкГн и сопротивлением 2 Ом. Определите резонансную частоту контура.

(Ответ: 0,57 МГц.)

Дано:

Емкость конденсатора, $C = 2,4 \cdot 10^3 \text{ пФ}$

Индуктивность катушки, $L = 32 \text{ мкГн}$

Сопротивление, $R = 2 \text{ Ом}$

Перевод в систему СИ:

$C = 2,4 \cdot 10^3 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} = 2,4 \cdot 10^{-9} \text{ Ф}$

$L = 32 \cdot 10^{-6} \text{ Гн}$

$R = 2 \text{ Ом}$

Найти:

Резонансную частоту контура, $f_{рез}$

Решение:

Резонансная частота колебательного контура определяется по формуле Томсона. Эта формула связывает резонансную частоту с индуктивностью катушки $L$ и емкостью конденсатора $C$.

Формула для циклической резонансной частоты $\omega_{рез}$:

$\omega_{рез} = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Линейная резонансная частота $f_{рез}$ связана с циклической частотой соотношением $f_{рез} = \frac{\omega_{рез}}{2\pi}$. Таким образом, формула для линейной резонансной частоты имеет вид:

$f_{рез} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

Важно отметить, что наличие активного сопротивления $R$ в контуре влияет на затухание колебаний и ширину резонансной кривой, но не изменяет саму резонансную частоту, которая определяется только параметрами $L$ и $C$. Поэтому значение сопротивления $R = 2 \text{ Ом}$ в данной задаче для нахождения резонансной частоты не используется.

Подставим значения $L$ и $C$ в систему СИ в формулу:

$f_{рез} = \frac{1}{2\pi\sqrt{32 \cdot 10^{-6} \text{ Гн} \cdot 2,4 \cdot 10^{-9} \text{ Ф}}}$

Сначала вычислим произведение под корнем:

$LC = 32 \cdot 10^{-6} \cdot 2,4 \cdot 10^{-9} = 76,8 \cdot 10^{-15} = 7,68 \cdot 10^{-14} \text{ с}^2$

Теперь извлечем квадратный корень:

$\sqrt{LC} = \sqrt{7,68 \cdot 10^{-14}} \approx 2,771 \cdot 10^{-7} \text{ с}$

Подставим это значение в формулу для частоты:

$f_{рез} = \frac{1}{2\pi \cdot 2,771 \cdot 10^{-7}} \approx \frac{1}{6,283 \cdot 2,771 \cdot 10^{-7}} \approx \frac{1}{17,41 \cdot 10^{-7}} \text{ Гц}$

$f_{рез} \approx 0,05743 \cdot 10^7 \text{ Гц} = 574300 \text{ Гц}$

Переведем результат в мегагерцы (МГц), зная, что $1 \text{ МГц} = 10^6 \text{ Гц}$:

$f_{рез} = \frac{574300}{10^6} \text{ МГц} \approx 0,57 \text{ МГц}$

Ответ: $0,57 \text{ МГц}$.