Номер 4.1.3, страница 86 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

4.1.3. Найдите все длины волн света в интервале от $\lambda_1 = 400$ нм до $\lambda_2 = 600$ нм, которые будут максимально ослаблены в результате интерференции при разности хода лучей $\Delta d = 1,5$ мкм. (Ответ: 429 нм; 600 нм.)

Дано:

Интервал длин волн: от $\lambda_1 = 400$ нм до $\lambda_2 = 600$ нм
Разность хода лучей: $\Delta d = 1,5$ мкм

Перевод в систему СИ:
$\lambda_1 = 400 \text{ нм} = 400 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 4 \cdot 10^{-7} \text{ м}$
$\lambda_2 = 600 \text{ нм} = 600 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 6 \cdot 10^{-7} \text{ м}$
$\Delta d = 1,5 \text{ мкм} = 1,5 \cdot 10^{-6} \text{ м}$

Найти:

Все длины волн $\lambda$ в заданном интервале, которые будут максимально ослаблены.

Решение:

Условие максимального ослабления света (интерференционного минимума) при интерференции двух когерентных волн имеет вид:
$\Delta d = (2k + 1) \frac{\lambda}{2}$, где $\Delta d$ — разность хода лучей, $\lambda$ — длина волны, а $k$ — целое число ($k = 0, 1, 2, ...$), определяющее порядок минимума.

Выразим из этой формулы длину волны $\lambda$:
$\lambda = \frac{2 \Delta d}{2k + 1}$

Согласно условию задачи, искомые длины волн должны находиться в интервале $\lambda_1 \le \lambda \le \lambda_2$. Подставим выражение для $\lambda$ в это неравенство:
$\lambda_1 \le \frac{2 \Delta d}{2k + 1} \le \lambda_2$

Это двойное неравенство эквивалентно системе двух неравенств, из которой мы можем найти возможные значения для $k$.
Из $\frac{2 \Delta d}{2k + 1} \ge \lambda_1$ следует, что $2k + 1 \le \frac{2 \Delta d}{\lambda_1}$.
Из $\frac{2 \Delta d}{2k + 1} \le \lambda_2$ следует, что $2k + 1 \ge \frac{2 \Delta d}{\lambda_2}$.

Таким образом, для $2k+1$ получаем следующий диапазон:
$\frac{2 \Delta d}{\lambda_2} \le 2k + 1 \le \frac{2 \Delta d}{\lambda_1}$

Подставим числовые значения. Для удобства вычислений можно использовать длины волн в нанометрах (нм) и разность хода также в нанометрах: $\Delta d = 1,5 \text{ мкм} = 1500 \text{ нм}$.
$\frac{2 \cdot 1500}{600} \le 2k + 1 \le \frac{2 \cdot 1500}{400}$
$5 \le 2k + 1 \le 7,5$

Вычтем 1 из всех частей неравенства:
$4 \le 2k \le 6,5$

Разделим все части на 2:
$2 \le k \le 3,25$

Поскольку $k$ может быть только целым числом, возможные значения $k$ в этом диапазоне: $k=2$ и $k=3$.

Теперь найдем соответствующие этим значениям $k$ длины волн $\lambda$ по формуле $\lambda = \frac{2 \Delta d}{2k + 1}$.
При $k = 2$:
$\lambda = \frac{2 \cdot 1500 \text{ нм}}{2 \cdot 2 + 1} = \frac{3000}{5} \text{ нм} = 600 \text{ нм}$
Эта длина волны входит в заданный интервал $[400 \text{ нм}, 600 \text{ нм}]$.

При $k = 3$:
$\lambda = \frac{2 \cdot 1500 \text{ нм}}{2 \cdot 3 + 1} = \frac{3000}{7} \text{ нм} \approx 428,57 \text{ нм}$
Эта длина волны также входит в заданный интервал $[400 \text{ нм}, 600 \text{ нм}]$. Округляя до целого числа, получаем 429 нм.

Таким образом, в указанном диапазоне есть две длины волны, которые будут максимально ослаблены.

Ответ: 429 нм; 600 нм.