Номер 4.1.2, страница 86 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

4.1.2. Разность хода двух когерентных лучей составляет 2,5 мкм. Определите длину волн видимого света (от 700 до 400 нм), которые дадут интерференционные максимумы. (Ответ: 417 нм; 500 нм; 625 нм.)

Дано:

Разность хода лучей, $Δd = 2,5$ мкм
Диапазон длин волн видимого света: от $λ_{min} = 400$ нм до $λ_{max} = 700$ нм

Перевод в систему СИ:
$Δd = 2,5 \cdot 10^{-6}$ м
$λ_{min} = 400 \cdot 10^{-9}$ м = $4 \cdot 10^{-7}$ м
$λ_{max} = 700 \cdot 10^{-9}$ м = $7 \cdot 10^{-7}$ м

Найти:

Длины волн $λ$ из видимого диапазона, которые дадут интерференционные максимумы.

Решение:

Условием возникновения интерференционного максимума является равенство разности хода двух когерентных лучей целому числу длин волн. Математически это записывается так:
$Δd = k \cdot λ$
где $k$ — целое положительное число ($k = 1, 2, 3, \ldots$), называемое порядком максимума.

Из этой формулы мы можем выразить длину волны $λ$:
$λ = \frac{Δd}{k}$

Согласно условию задачи, искомые длины волн должны находиться в видимом диапазоне, то есть удовлетворять неравенству:
$400 \text{ нм} \le λ \le 700 \text{ нм}$

Подставим в это неравенство выражение для длины волны:
$400 \cdot 10^{-9} \text{ м} \le \frac{Δd}{k} \le 700 \cdot 10^{-9} \text{ м}$

Теперь подставим числовое значение разности хода $Δd = 2,5 \cdot 10^{-6}$ м:
$4 \cdot 10^{-7} \le \frac{2,5 \cdot 10^{-6}}{k} \le 7 \cdot 10^{-7}$

Чтобы найти возможные значения $k$, решим это двойное неравенство относительно $k$.
Из левой части неравенства получаем:
$k \cdot (4 \cdot 10^{-7}) \le 2,5 \cdot 10^{-6}$
$k \le \frac{2,5 \cdot 10^{-6}}{4 \cdot 10^{-7}} = \frac{25}{4} = 6,25$

Из правой части неравенства получаем:
$\frac{2,5 \cdot 10^{-6}}{k} \le 7 \cdot 10^{-7}$
$k \ge \frac{2,5 \cdot 10^{-6}}{7 \cdot 10^{-7}} = \frac{25}{7} \approx 3,57$

Таким образом, порядок максимума $k$ должен быть целым числом в диапазоне $3,57 \le k \le 6,25$.
Этому условию удовлетворяют следующие целые значения $k$: 4, 5, 6.

Теперь рассчитаем соответствующие длины волн для каждого из найденных значений $k$, используя формулу $λ = \frac{Δd}{k}$.

Для $k=4$:
$λ_4 = \frac{2,5 \cdot 10^{-6} \text{ м}}{4} = 0,625 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 625 \text{ нм}$

Для $k=5$:
$λ_5 = \frac{2,5 \cdot 10^{-6} \text{ м}}{5} = 0,5 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 500 \text{ нм}$

Для $k=6$:
$λ_6 = \frac{2,5 \cdot 10^{-6} \text{ м}}{6} \approx 0,4167 \cdot 10^{-6} \text{ м} \approx 417 \text{ нм}$

Все три вычисленные длины волны (625 нм, 500 нм и 417 нм) входят в заданный диапазон видимого света (от 400 до 700 нм).

Ответ: 417 нм; 500 нм; 625 нм.