Номер 4.2.4, страница 90 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

4.2.4. Световая волна длиной 530 нм падает перпендикулярно на прозрачную дифракционную решетку, постоянная которой равна 1,8 мкм. Определите угол дифракции, под которым образуется максимум наибольшего порядка.
(Ответ: 62°.)

Дано:

Длина световой волны $ \lambda = 530 \text{ нм} $

Постоянная дифракционной решетки $ d = 1.8 \text{ мкм} $

$ \lambda = 530 \times 10^{-9} \text{ м} $

$ d = 1.8 \times 10^{-6} \text{ м} $

Найти:

Угол дифракции $ \phi $ для максимума наибольшего порядка.

Решение:

Условие образования дифракционных максимумов при нормальном падении света на решетку описывается формулой:

$ d\sin\phi = k\lambda $

где $ d $ — постоянная решетки, $ \phi $ — угол дифракции, $ \lambda $ — длина волны света, а $ k $ — порядок максимума, который является целым числом ($k = 0, 1, 2, ...$).

Из этой формулы выразим синус угла дифракции:

$ \sin\phi = \frac{k\lambda}{d} $

Поскольку значение синуса не может превышать 1 ($ \sin\phi \le 1 $), мы можем определить максимально возможный порядок максимума $ k_{max} $.

$ \frac{k\lambda}{d} \le 1 \Rightarrow k \le \frac{d}{\lambda} $

Подставим числовые значения, предварительно переведенные в систему СИ:

$ k \le \frac{1.8 \times 10^{-6} \text{ м}}{530 \times 10^{-9} \text{ м}} = \frac{1.8 \times 10^{-6}}{0.53 \times 10^{-6}} \approx 3.396 $

Так как порядок максимума $ k $ должен быть целым числом, наибольший возможный порядок $ k_{max} $ равен 3.

$ k_{max} = 3 $

Теперь найдем угол, под которым наблюдается этот максимум. Используем ту же формулу для $ k = 3 $:

$ \sin\phi_{max} = \frac{k_{max}\lambda}{d} = \frac{3 \times 530 \times 10^{-9} \text{ м}}{1.8 \times 10^{-6} \text{ м}} = \frac{1590 \times 10^{-9}}{1.8 \times 10^{-6}} = \frac{1.59 \times 10^{-6}}{1.8 \times 10^{-6}} \approx 0.8833 $

Чтобы найти угол $ \phi_{max} $, возьмем арксинус от полученного значения:

$ \phi_{max} = \arcsin(0.8833) \approx 62.06^\circ $

Округляя до целых, получаем $ 62^\circ $.

Ответ: угол дифракции, под которым образуется максимум наибольшего порядка, равен $ 62^\circ $.