Номер 9.3.3, страница 195 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

9.3.3. Параллакс звезды равен $0,5^{\prime\prime}$. Определите, во сколько раз она дальше от нас, чем Солнце. (Ответ: в $4,1 \cdot 10^5$ раз.)

Дано:

Годичный параллакс звезды $p = 0,5''$
Расстояние от Земли до Солнца $D_{Солнца} = 1$ а.е. (астрономическая единица)

Перевод в систему СИ:
$p = 0,5'' = 0,5 \times \frac{\pi}{180 \times 3600} \text{ рад} \approx 2,424 \times 10^{-6} \text{ рад}$
$D_{Солнца} = 1 \text{ а.е.} \approx 1,496 \times 10^{11} \text{ м}$

Найти:

Отношение расстояния до звезды к расстоянию до Солнца: $\frac{D_{звезды}}{D_{Солнца}}$

Решение:

Расстояние до звезды можно определить через ее годичный параллакс. Годичный параллакс $p$ — это угол, под которым со звезды виден средний радиус земной орбиты ($B = 1 \text{ а.е.}$).
В астрономии для удобства расчетов расстояний до звезд введена специальная единица длины — парсек (пк). Расстояние до звезды в парсеках по определению равно обратной величине ее годичного параллакса, выраженного в угловых секундах ($p''$):
$D_{звезды} [\text{пк}] = \frac{1}{p['']}$
Подставим в формулу данное значение параллакса:
$D_{звезды} = \frac{1}{0,5} = 2 \text{ пк}$
Теперь необходимо выразить это расстояние в астрономических единицах (а.е.), чтобы сравнить его с расстоянием до Солнца, которое по определению равно 1 а.е.
Один парсек — это расстояние, с которого средний радиус земной орбиты (1 а.е.) виден под углом в 1 угловую секунду (1''). Количество угловых секунд в одном радиане составляет примерно 206265. Таким образом, связь между парсеком и астрономической единицей:
$1 \text{ пк} \approx 206265 \text{ а.е.}$
Найдем расстояние до звезды в астрономических единицах:
$D_{звезды} = 2 \text{ пк} \times 206265 \frac{\text{а.е.}}{\text{пк}} = 412530 \text{ а.е.}$
Расстояние от нас до Солнца составляет 1 а.е.: $D_{Солнца} = 1 \text{ а.е.}$.
Найдем, во сколько раз звезда дальше от нас, чем Солнце, вычислив отношение их расстояний:
$\frac{D_{звезды}}{D_{Солнца}} = \frac{412530 \text{ а.е.}}{1 \text{ а.е.}} = 412530$
Запишем полученный результат в стандартном виде и округлим до двух значащих цифр (в соответствии с точностью исходных данных $0,5''$):
$412530 \approx 4,1 \times 10^5$

Ответ: звезда дальше от нас, чем Солнце, в $4,1 \times 10^5$ раз.