Номер 4.4.9, страница 124, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

4.4.9. Радиоприемник можно настраивать на прием радиоволн длиной от 25 до 200 м. Во сколько раз нужно уменьшить расстояние между пластинами плоского конденсатора, включенного в колебательный контур приемника, чтобы перейти от приема самой короткой длины волны к самой длинной? (Ответ: в 64 раза.)

Дано:

Минимальная длина волны $ \lambda_{min} = 25 \, \text{м} $

Максимальная длина волны $ \lambda_{max} = 200 \, \text{м} $

Найти:

$ \frac{d_1}{d_2} $ — во сколько раз нужно уменьшить расстояние между пластинами конденсатора.

Решение:

Настройка радиоприемника на определенную длину волны $ \lambda $ происходит за счет изменения параметров колебательного контура (индуктивности $ L $ или емкости $ C $). Длина волны, на которую настроен контур, связана с его параметрами по формуле Томсона:

$ \lambda = cT = 2\pi c \sqrt{LC} $

где $ c $ — скорость света в вакууме, $ T $ — период собственных электромагнитных колебаний в контуре.

В данной задаче настройка осуществляется изменением емкости $ C $ плоского конденсатора путем изменения расстояния $ d $ между его пластинами. Емкость плоского конденсатора определяется формулой:

$ C = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon S}{d} $

где $ \varepsilon_0 $ — электрическая постоянная, $ \varepsilon $ — диэлектрическая проницаемость диэлектрика между пластинами, $ S $ — площадь пластин.

Подставим выражение для емкости в формулу для длины волны:

$ \lambda = 2\pi c \sqrt{L \frac{\varepsilon_0 \varepsilon S}{d}} $

Из этой формулы видно, что при неизменных $ L $ и $ S $ длина волны $ \lambda $ обратно пропорциональна квадратному корню из расстояния $ d $: $ \lambda \propto \frac{1}{\sqrt{d}} $.

Обозначим $ d_1 $ — расстояние между пластинами для приема самой короткой волны $ \lambda_{min} $, а $ d_2 $ — расстояние для приема самой длинной волны $ \lambda_{max} $.

Тогда можно записать соотношения:

$ \lambda_{min} = k \frac{1}{\sqrt{d_1}} $

$ \lambda_{max} = k \frac{1}{\sqrt{d_2}} $

где $ k = 2\pi c \sqrt{L \varepsilon_0 \varepsilon S} $ — коэффициент пропорциональности.

Чтобы найти, во сколько раз нужно уменьшить расстояние, найдем отношение $ \frac{d_1}{d_2} $. Для этого разделим второе уравнение на первое:

$ \frac{\lambda_{max}}{\lambda_{min}} = \frac{k / \sqrt{d_2}}{k / \sqrt{d_1}} = \frac{\sqrt{d_1}}{\sqrt{d_2}} = \sqrt{\frac{d_1}{d_2}} $

Возведем обе части равенства в квадрат:

$ \frac{d_1}{d_2} = \left(\frac{\lambda_{max}}{\lambda_{min}}\right)^2 $

Подставим числовые значения из условия задачи:

$ \frac{d_1}{d_2} = \left(\frac{200 \, \text{м}}{25 \, \text{м}}\right)^2 = (8)^2 = 64 $

Таким образом, чтобы перейти от приема волны $ \lambda_{min} $ к волне $ \lambda_{max} $, необходимо уменьшить расстояние между пластинами $ d $ в 64 раза.

Ответ: расстояние между пластинами нужно уменьшить в 64 раза.