Номер 4.4.6, страница 124, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

4.4.6. Во сколько раз нужно увеличить емкость контура радиоприемника, настроенного на частоту $6 \text{ МГц}$, чтобы можно было слушать радиостанцию, работающую на длине волн $100 \text{ м}$? (Ответ: в $\text{4}$ раза.)

Дано:

Начальная частота контура $f_1 = 6$ МГц

Конечная длина волны $\lambda_2 = 100$ м

Скорость света в вакууме $c = 3 \cdot 10^8$ м/с

Перевод в систему СИ:

$f_1 = 6 \text{ МГц} = 6 \cdot 10^6 \text{ Гц}$

Найти:

Во сколько раз нужно увеличить емкость, т.е. найти отношение $\frac{C_2}{C_1}$.

Решение:

Резонансная частота колебательного контура радиоприемника определяется его индуктивностью $L$ и емкостью $C$ по формуле Томсона для периода колебаний $T = 2\pi\sqrt{LC}$.

Частота колебаний $f$ связана с периодом как $f = 1/T$, следовательно:

$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

Длина электромагнитной волны $\lambda$, на которую настроен контур, связана с частотой $f$ соотношением $\lambda = c/f$, где $c$ – скорость света.

Подставив в эту формулу выражение для частоты, получим зависимость длины волны от параметров контура:

$\lambda = c \cdot T = c \cdot 2\pi\sqrt{LC}$

При перестройке радиоприемника с одной станции на другую изменяется емкость конденсатора $C$, а индуктивность катушки $L$ остается постоянной. Выразим емкость $C$ из формулы для длины волны:

$\lambda^2 = (2\pi c)^2 LC$

$C = \frac{\lambda^2}{4\pi^2 c^2 L}$

Из этого выражения видно, что емкость контура прямо пропорциональна квадрату длины волны, на которую он настроен: $C \propto \lambda^2$.

Сначала найдем длину волны $\lambda_1$, соответствующую начальной частоте настройки $f_1 = 6$ МГц:

$\lambda_1 = \frac{c}{f_1} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{6 \cdot 10^6 \text{ Гц}} = \frac{300}{6} \text{ м} = 50 \text{ м}$

Теперь мы можем найти, во сколько раз нужно изменить емкость, чтобы перестроить приемник с длины волны $\lambda_1 = 50$ м на $\lambda_2 = 100$ м. Для этого составим отношение емкостей $C_2$ и $C_1$:

$\frac{C_2}{C_1} = \frac{\frac{\lambda_2^2}{4\pi^2 c^2 L}}{\frac{\lambda_1^2}{4\pi^2 c^2 L}} = \frac{\lambda_2^2}{\lambda_1^2} = \left(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^2$

Подставим числовые значения длин волн:

$\frac{C_2}{C_1} = \left(\frac{100 \text{ м}}{50 \text{ м}}\right)^2 = 2^2 = 4$

Следовательно, чтобы перестроить приемник на нужную радиостанцию, емкость его колебательного контура необходимо увеличить в 4 раза.

Ответ: емкость контура нужно увеличить в 4 раза.