Номер 4.4.5, страница 124, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

4.4.5. Колебательный контур радиоприемника настроен на длину волны 25 м. Во сколько раз надо увеличить емкость конденсатора колебательного контура радиоприемника, чтобы настроить его на волну длиной 50 м? (Ответ: в 4 раза.)

Дано:

Начальная длина волны, на которую настроен контур, $\lambda_1 = 25$ м.

Конечная длина волны, на которую нужно настроить контур, $\lambda_2 = 50$ м.

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Во сколько раз нужно увеличить емкость конденсатора, то есть найти отношение $\frac{C_2}{C_1}$.

Решение:

Длина волны $\lambda$, на которую настроен колебательный контур, связана с периодом собственных колебаний контура $T$ и скоростью распространения электромагнитных волн $c$ соотношением:

$\lambda = c \cdot T$

Период свободных электромагнитных колебаний в LC-контуре определяется формулой Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

где $L$ – индуктивность катушки, а $C$ – емкость конденсатора.

Объединив эти две формулы, получим зависимость длины волны от параметров контура:

$\lambda = 2\pi c \sqrt{LC}$

Для настройки радиоприемника обычно изменяют емкость конденсатора $C$, в то время как индуктивность катушки $L$ остается постоянной. Запишем формулу для начального и конечного состояний:

Для начальной длины волны $\lambda_1$ с емкостью $C_1$:

$\lambda_1 = 2\pi c \sqrt{LC_1}$

Для конечной длины волны $\lambda_2$ с емкостью $C_2$:

$\lambda_2 = 2\pi c \sqrt{LC_2}$

Чтобы найти, как изменилась емкость, разделим второе уравнение на первое:

$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{2\pi c \sqrt{LC_2}}{2\pi c \sqrt{LC_1}}$

Сократив общие множители ($2\pi c \sqrt{L}$), получим:

$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{C_2}{C_1}}$

Из этого соотношения видно, что длина волны прямо пропорциональна квадратному корню из емкости. Чтобы выразить искомое отношение емкостей $\frac{C_2}{C_1}$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$\frac{C_2}{C_1} = \left(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^2$

Подставим числовые значения из условия:

$\frac{C_2}{C_1} = \left(\frac{50 \text{ м}}{25 \text{ м}}\right)^2 = (2)^2 = 4$

Следовательно, для увеличения длины волны в 2 раза, емкость конденсатора необходимо увеличить в 4 раза.

Ответ: емкость конденсатора надо увеличить в 4 раза.