Номер 4.4.7, страница 124, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

4.4.7. На какую длину волны настроен колебательный контур, состоящий из катушки индуктивностью 3 мГн и плоского конденсатора в виде двух дисков радиусом 1,2 см, расположенных на расстоянии 0,3 мм друг от друга? Конденсатор заполнен веществом с диэлектрической проницаемостью 4. (Ответ: 753,6 м.)

Дано:

Индуктивность катушки, $L = 3 \text{ мГн}$

Радиус дисков конденсатора, $r = 1,2 \text{ см}$

Расстояние между дисками, $d = 0,3 \text{ мм}$

Диэлектрическая проницаемость, $\epsilon = 4$

Электрическая постоянная, $\epsilon_0 \approx 8,85 \times 10^{-12} \text{ Ф/м}$

Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \times 10^8 \text{ м/с}$

Перевод в систему СИ:

$L = 3 \times 10^{-3} \text{ Гн}$

$r = 1,2 \times 10^{-2} \text{ м}$

$d = 0,3 \times 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

Длину волны, $\lambda$.

Решение:

Длина волны $\lambda$, на которую настроен колебательный контур, связана с периодом его собственных колебаний $T$ и скоростью распространения электромагнитных волн (скоростью света в вакууме) $c$ соотношением: $ \lambda = cT $

Период электромагнитных колебаний в LC-контуре определяется формулой Томсона: $ T = 2\pi\sqrt{LC} $ где $L$ – индуктивность катушки, а $C$ – ёмкость конденсатора.

В задаче дан плоский конденсатор в виде двух дисков. Ёмкость такого конденсатора вычисляется по формуле: $ C = \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{d} $ Здесь $\epsilon$ – диэлектрическая проницаемость вещества между пластинами, $\epsilon_0$ – электрическая постоянная, $d$ – расстояние между пластинами, а $S$ – площадь одной пластины (диска).

Площадь диска радиусом $r$ равна: $ S = \pi r^2 $

Подставим выражение для площади в формулу ёмкости: $ C = \frac{\epsilon \epsilon_0 \pi r^2}{d} $

Теперь, объединив все формулы, получим выражение для длины волны: $ \lambda = cT = c \cdot 2\pi\sqrt{LC} = 2\pi c \sqrt{L \frac{\epsilon \epsilon_0 \pi r^2}{d}} $

Проведем вычисления. Сначала определим ёмкость конденсатора, приняв $\pi \approx 3,14$: $ C = \frac{4 \cdot 8,85 \times 10^{-12} \text{ Ф/м} \cdot 3,14 \cdot (1,2 \times 10^{-2} \text{ м})^2}{0,3 \times 10^{-3} \text{ м}} $ $ C = \frac{4 \cdot 8,85 \times 10^{-12} \cdot 3,14 \cdot 1,44 \times 10^{-4}}{0,3 \times 10^{-3}} \text{ Ф} \approx 5,33 \times 10^{-11} \text{ Ф} $

Теперь вычислим длину волны, используя найденное значение ёмкости: $ \lambda = 2\pi c \sqrt{LC} \approx 2 \cdot 3,14 \cdot 3 \times 10^8 \text{ м/с} \cdot \sqrt{3 \times 10^{-3} \text{ Гн} \cdot 5,33 \times 10^{-11} \text{ Ф}} $ $ \lambda \approx 1,884 \times 10^9 \cdot \sqrt{15,99 \times 10^{-14}} \text{ м} $ $ \lambda \approx 1,884 \times 10^9 \cdot 4,0 \times 10^{-7} \text{ м} \approx 753,6 \text{ м} $

Ответ: $753,6 \text{ м}$.