Номер 4.4.4, страница 124, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

4.4.4. Изменение тока в антенне радиопередатчика происходит по закону $i = 0,3 \sin 1,57 \cdot 10^5 t$. Найдите длину излучаемой электромагнитной волны. (Ответ: 12 км.)

Дано:

Уравнение изменения тока: $i = 0,3 \sin(1,57 \cdot 10^5 t)$

Скорость света в вакууме: $c = 3 \cdot 10^8$ м/с

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Длину излучаемой электромагнитной волны $\lambda$.

Решение:

Закон изменения силы тока в антенне радиопередатчика является уравнением гармонических колебаний. Общий вид такого уравнения: $i(t) = I_{max} \sin(\omega t + \phi_0)$ где $I_{max}$ — амплитуда колебаний силы тока, $\omega$ — циклическая (угловая) частота, $t$ — время, а $\phi_0$ — начальная фаза колебаний.

Сравнивая заданное в условии уравнение $i = 0,3 \sin(1,57 \cdot 10^5 t)$ с общей формулой, мы можем определить циклическую частоту колебаний тока. Эта частота будет равна частоте излучаемой электромагнитной волны. $\omega = 1,57 \cdot 10^5$ рад/с.

Заметим, что коэффициент $1,57$ является распространенным приближением для числа $\frac{\pi}{2}$. Таким образом, мы можем записать: $\omega \approx \frac{\pi}{2} \cdot 10^5$ рад/с.

Длина электромагнитной волны $\lambda$ связана с ее циклической частотой $\omega$ и скоростью распространения $c$ (скоростью света для электромагнитных волн) через соотношение: $\lambda = \frac{2\pi c}{\omega}$ Эта формула получается из двух основных: $\omega = 2\pi\nu$ и $\lambda = \frac{c}{\nu}$, где $\nu$ — линейная частота.

Подставим в формулу для длины волны наше значение циклической частоты: $\lambda = \frac{2\pi c}{\frac{\pi}{2} \cdot 10^5} = \frac{2\pi c \cdot 2}{\pi \cdot 10^5} = \frac{4c}{10^5}$

Теперь подставим числовое значение скорости света $c = 3 \cdot 10^8$ м/с и произведем вычисления: $\lambda = \frac{4 \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{10^5 \text{ с}^{-1}} = 12 \cdot 10^{(8-5)} \text{ м} = 12 \cdot 10^3 \text{ м}$

Переведем полученное значение из метров в километры, зная, что $1$ км $= 1000$ м $= 10^3$ м: $\lambda = 12 \cdot 10^3 \text{ м} = 12$ км.

Ответ: $12$ км.