Номер 1, страница 207 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

Задачи. § 56. Закон радиоактивного распада. Глава 7. Физика атомного ядра - номер 1, страница 207.

З А Д А Ч И

1. Конечным продуктом радиоактивного распада $^{238}_{92}\text{U}$ является свинец $^{206}_{82}\text{Pb}$. Период полураспада $^{238}_{92}\text{U}$ составляет $4,5 \cdot 10^9$ лет. Определите возраст минерала, в котором число атомов урана и свинца одинаково.

Дано:

Начальный изотоп: уран-238 ($^{238}_{92}\text{U}$)

Конечный стабильный продукт распада: свинец-206 ($^{206}_{82}\text{Pb}$)

Период полураспада урана-238, $T = 4,5 \cdot 10^9$ лет

Соотношение атомов в минерале: $N_U = N_{Pb}$

Найти:

Возраст минерала $t$.

Решение:

Закон радиоактивного распада гласит, что число нераспавшихся атомов $N$ в момент времени $t$ связано с начальным числом атомов $N_0$ и периодом полураспада $T$ следующим соотношением:

$N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T}$

В данном случае $N(t)$ — это количество атомов урана ($N_U$), оставшихся в минерале к моменту времени $t$.

Каждый распавшийся атом урана-238 со временем превращается в один атом свинца-206. Будем считать, что в начальный момент времени ($t=0$) минерал состоял только из урана, а весь свинец-206 образовался в результате распада. Тогда число атомов свинца ($N_{Pb}$) равно числу распавшихся атомов урана.

Число распавшихся атомов урана можно найти как разность между начальным и текущим количеством атомов урана:

$N_{Pb} = N_0 - N_U$

Согласно условию задачи, в исследуемом минерале число атомов урана равно числу атомов свинца:

$N_U = N_{Pb}$

Приравняем выражения для $N_{Pb}$ и $N_U$:

$N_U = N_0 - N_U$

Выразим отсюда $N_U$:

$2 N_U = N_0$

$N_U = \frac{N_0}{2}$

Это означает, что к настоящему моменту времени распалась ровно половина от первоначального количества атомов урана.

Подставим это соотношение в формулу закона радиоактивного распада:

$\frac{N_0}{2} = N_0 \cdot 2^{-t/T}$

Разделим обе части уравнения на $N_0$ (начальное число атомов не равно нулю):

$\frac{1}{2} = 2^{-t/T}$

Запишем левую часть в виде степени с основанием 2:

$2^{-1} = 2^{-t/T}$

Поскольку основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны:

$-1 = -\frac{t}{T}$

Отсюда следует, что возраст минерала $t$ равен периоду полураспада $T$.

$t = T = 4,5 \cdot 10^9$ лет.

Ответ: возраст минерала составляет $4,5 \cdot 10^9$ лет.