Номер 2, страница 206 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

Вопросы. § 56. Закон радиоактивного распада. Глава 7. Физика атомного ядра - номер 2, страница 206.

2. Выведите закон радиоактивного распада.

2. Выведите закон радиоактивного распада.

Дано:

Основное положение теории радиоактивного распада: скорость распада (число распадов в единицу времени) прямо пропорциональна числу имеющихся нераспавшихся ядер. Математически это выражается как дифференциальное уравнение:

$-\frac{dN}{dt} = \lambda N$

где $N$ - число нераспавшихся ядер в момент времени $t$, $t$ - время, $\lambda$ - постоянная распада (положительная константа, характеризующая конкретный изотоп). Знак "минус" указывает на то, что число ядер $N$ со временем уменьшается.

Начальное условие: в момент времени $t=0$ число ядер равно $N_0$.

Найти:

Интегральную форму закона радиоактивного распада — зависимость числа нераспавшихся ядер от времени, $N(t)$.

Решение:

Мы имеем дифференциальное уравнение первого порядка: $\frac{dN}{dt} = -\lambda N$. Для его решения используем метод разделения переменных. Перенесем все члены, содержащие $N$, в левую часть, а члены, содержащие $t$, — в правую:

$\frac{dN}{N} = -\lambda dt$

Теперь проинтегрируем обе части уравнения. Левую часть интегрируем в пределах от начального числа ядер $N_0$ до текущего числа $N$. Правую часть — от начального момента времени $0$ до текущего момента $t$:

$\int_{N_0}^{N} \frac{dN}{N} = \int_{0}^{t} -\lambda dt$

Вычисляем определенные интегралы. Интеграл от $\frac{1}{N}$ есть натуральный логарифм $\ln N$.

$[\ln N]_{N_0}^{N} = [-\lambda t]_{0}^{t}$

Подставляем пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница:

$\ln(N) - \ln(N_0) = -\lambda t - (-\lambda \cdot 0)$

Используя свойство логарифмов $\ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})$, преобразуем левую часть:

$\ln\left(\frac{N}{N_0}\right) = -\lambda t$

Чтобы выразить $N$, необходимо выполнить операцию потенцирования, то есть взять экспоненту (возвести число $e$ в степень) от обеих частей равенства:

$e^{\ln\left(\frac{N}{N_0}\right)} = e^{-\lambda t}$

Поскольку экспонента и натуральный логарифм — взаимно обратные функции ($e^{\ln x} = x$), получаем:

$\frac{N(t)}{N_0} = e^{-\lambda t}$

Наконец, выражаем $N$ как функцию от $t$:

$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$

Это и есть закон радиоактивного распада. Он показывает, что число радиоактивных ядер уменьшается со временем по экспоненциальному закону.

Ответ: Закон радиоактивного распада, выведенный из основного дифференциального уравнения, имеет вид $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$, где $N(t)$ — число нераспавшихся ядер в момент времени $t$, $N_0$ — начальное число ядер, а $\lambda$ — постоянная распада, характерная для данного вещества.