Номер 1, страница 206 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

Вопросы. § 56. Закон радиоактивного распада. Глава 7. Физика атомного ядра - номер 1, страница 206.

В О П Р О С Ы

1. Дайте определение периода полураспада. Почему период полураспада не зависит от начального числа частиц?

Период полураспада ($T_{1/2}$) — это промежуток времени, в течение которого распадается в среднем половина от исходного числа радиоактивных ядер. Это фундаментальная характеристика нестабильного изотопа.

Период полураспада не зависит от начального числа частиц, потому что радиоактивный распад является вероятностным (статистическим) процессом. Для каждого отдельного ядра вероятность распада в единицу времени является постоянной величиной, называемой постоянной распада ($\lambda$), и она не зависит от количества других ядер или от времени существования самого ядра. Эта постоянная — уникальная характеристика для каждого конкретного изотопа.

Математически это следует из закона радиоактивного распада, который описывает количество нераспавшихся ядер $N$ в момент времени $t$:

$N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$

где $N_0$ — начальное число ядер, а $e$ — основание натурального логарифма.

По определению, в момент времени $t = T_{1/2}$, количество оставшихся ядер будет равно половине начального, то есть $N(T_{1/2}) = N_0/2$. Подставим это в закон распада:

$\frac{N_0}{2} = N_0 \cdot e^{-\lambda T_{1/2}}$

Как видно, начальное число ядер $N_0$ сокращается:

$\frac{1}{2} = e^{-\lambda T_{1/2}}$

Чтобы выразить $T_{1/2}$, возьмем натуральный логарифм от обеих частей уравнения:

$\ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln(e^{-\lambda T_{1/2}})$

$-\ln(2) = -\lambda T_{1/2}$

Отсюда получаем формулу для периода полураспада:

$T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}$

Эта формула наглядно демонстрирует, что период полураспада $T_{1/2}$ зависит только от постоянной распада $\lambda$ (то есть от типа изотопа) и не зависит от начального количества ядер $N_0$.

Ответ: Период полураспада — это время, за которое число радиоактивных ядер в образце уменьшается в два раза. Он не зависит от начального числа частиц, так как распад каждого ядра является случайным событием с постоянной вероятностью ($\lambda$). Математически это доказывается выводом формулы $T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}$, где отсутствует зависимость от начального числа ядер $N_0$.