Номер 2, страница 207 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

Задачи. § 56. Закон радиоактивного распада. Глава 7. Физика атомного ядра - номер 2, страница 207.

2. Изотоп протактиния $_{91}^{234} \mathrm{Pa}$ имеет период полураспада $T_{1/2} = 1,18$ мин. Какая часть изотопов останется нераспавшейся через час?

Дано:

$T_{1/2} = 1,18 \text{ мин} = 1,18 \cdot 60 \text{ с} = 70,8 \text{ с}$

$t = 1 \text{ час} = 60 \text{ мин} = 3600 \text{ с}$

Найти:

Отношение числа нераспавшихся ядер к начальному числу ядер через час: $\frac{N}{N_0}$.

Решение:

Закон радиоактивного распада описывает уменьшение числа радиоактивных ядер со временем. Формула, связывающая число оставшихся ядер $N$ с начальным числом ядер $N_0$ и периодом полураспада $T_{1/2}$, выглядит следующим образом:

$N = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

В этой формуле $N$ – это количество нераспавшихся ядер в момент времени $t$, $N_0$ – начальное количество ядер, $t$ – время, прошедшее с начального момента, а $T_{1/2}$ – период полураспада.

Чтобы найти, какая часть изотопов останется нераспавшейся, нам нужно найти отношение $\frac{N}{N_0}$. Выразим это отношение из закона распада:

$\frac{N}{N_0} = 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

Для вычисления показателя степени $\frac{t}{T_{1/2}}$ необходимо, чтобы время $t$ и период полураспада $T_{1/2}$ были выражены в одних и тех же единицах. Удобнее всего использовать минуты, так как оба значения легко в них переводятся:

$t = 1 \text{ час} = 60 \text{ мин}$

$T_{1/2} = 1,18 \text{ мин}$

Теперь подставим эти значения в формулу:

$\frac{N}{N_0} = 2^{-\frac{60 \text{ мин}}{1,18 \text{ мин}}}$

Сначала вычислим значение показателя степени:

$\frac{60}{1,18} \approx 50,847$

Теперь подставим это значение обратно в выражение:

$\frac{N}{N_0} = 2^{-50,847}$

Для вычисления этого значения воспользуемся калькулятором:

$2^{-50,847} \approx 4,45 \times 10^{-16}$

Это означает, что через один час практически все изотопы протактиния-234 распадутся, и останется лишь ничтожно малая их часть.

Ответ:

Через час останется нераспавшейся часть изотопов, равная $2^{-\frac{60}{1,18}} \approx 4,45 \times 10^{-16}$ от первоначального количества.