Страница 207 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

З А Д А Ч И

1. Конечным продуктом радиоактивного распада $^{238}_{92}\text{U}$ является свинец $^{206}_{82}\text{Pb}$. Период полураспада $^{238}_{92}\text{U}$ составляет $4,5 \cdot 10^9$ лет. Определите возраст минерала, в котором число атомов урана и свинца одинаково.

Дано:

Начальный изотоп: уран-238 ($^{238}_{92}\text{U}$)

Конечный стабильный продукт распада: свинец-206 ($^{206}_{82}\text{Pb}$)

Период полураспада урана-238, $T = 4,5 \cdot 10^9$ лет

Соотношение атомов в минерале: $N_U = N_{Pb}$

Найти:

Возраст минерала $t$.

Решение:

Закон радиоактивного распада гласит, что число нераспавшихся атомов $N$ в момент времени $t$ связано с начальным числом атомов $N_0$ и периодом полураспада $T$ следующим соотношением:

$N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T}$

В данном случае $N(t)$ — это количество атомов урана ($N_U$), оставшихся в минерале к моменту времени $t$.

Каждый распавшийся атом урана-238 со временем превращается в один атом свинца-206. Будем считать, что в начальный момент времени ($t=0$) минерал состоял только из урана, а весь свинец-206 образовался в результате распада. Тогда число атомов свинца ($N_{Pb}$) равно числу распавшихся атомов урана.

Число распавшихся атомов урана можно найти как разность между начальным и текущим количеством атомов урана:

$N_{Pb} = N_0 - N_U$

Согласно условию задачи, в исследуемом минерале число атомов урана равно числу атомов свинца:

$N_U = N_{Pb}$

Приравняем выражения для $N_{Pb}$ и $N_U$:

$N_U = N_0 - N_U$

Выразим отсюда $N_U$:

$2 N_U = N_0$

$N_U = \frac{N_0}{2}$

Это означает, что к настоящему моменту времени распалась ровно половина от первоначального количества атомов урана.

Подставим это соотношение в формулу закона радиоактивного распада:

$\frac{N_0}{2} = N_0 \cdot 2^{-t/T}$

Разделим обе части уравнения на $N_0$ (начальное число атомов не равно нулю):

$\frac{1}{2} = 2^{-t/T}$

Запишем левую часть в виде степени с основанием 2:

$2^{-1} = 2^{-t/T}$

Поскольку основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны:

$-1 = -\frac{t}{T}$

Отсюда следует, что возраст минерала $t$ равен периоду полураспада $T$.

$t = T = 4,5 \cdot 10^9$ лет.

Ответ: возраст минерала составляет $4,5 \cdot 10^9$ лет.

2. Изотоп протактиния $_{91}^{234} \mathrm{Pa}$ имеет период полураспада $T_{1/2} = 1,18$ мин. Какая часть изотопов останется нераспавшейся через час?

Дано:

$T_{1/2} = 1,18 \text{ мин} = 1,18 \cdot 60 \text{ с} = 70,8 \text{ с}$

$t = 1 \text{ час} = 60 \text{ мин} = 3600 \text{ с}$

Найти:

Отношение числа нераспавшихся ядер к начальному числу ядер через час: $\frac{N}{N_0}$.

Решение:

Закон радиоактивного распада описывает уменьшение числа радиоактивных ядер со временем. Формула, связывающая число оставшихся ядер $N$ с начальным числом ядер $N_0$ и периодом полураспада $T_{1/2}$, выглядит следующим образом:

$N = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

В этой формуле $N$ – это количество нераспавшихся ядер в момент времени $t$, $N_0$ – начальное количество ядер, $t$ – время, прошедшее с начального момента, а $T_{1/2}$ – период полураспада.

Чтобы найти, какая часть изотопов останется нераспавшейся, нам нужно найти отношение $\frac{N}{N_0}$. Выразим это отношение из закона распада:

$\frac{N}{N_0} = 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

Для вычисления показателя степени $\frac{t}{T_{1/2}}$ необходимо, чтобы время $t$ и период полураспада $T_{1/2}$ были выражены в одних и тех же единицах. Удобнее всего использовать минуты, так как оба значения легко в них переводятся:

$t = 1 \text{ час} = 60 \text{ мин}$

$T_{1/2} = 1,18 \text{ мин}$

Теперь подставим эти значения в формулу:

$\frac{N}{N_0} = 2^{-\frac{60 \text{ мин}}{1,18 \text{ мин}}}$

Сначала вычислим значение показателя степени:

$\frac{60}{1,18} \approx 50,847$

Теперь подставим это значение обратно в выражение:

$\frac{N}{N_0} = 2^{-50,847}$

Для вычисления этого значения воспользуемся калькулятором:

$2^{-50,847} \approx 4,45 \times 10^{-16}$

Это означает, что через один час практически все изотопы протактиния-234 распадутся, и останется лишь ничтожно малая их часть.

Ответ:

Через час останется нераспавшейся часть изотопов, равная $2^{-\frac{60}{1,18}} \approx 4,45 \times 10^{-16}$ от первоначального количества.

3. Радиоактивный фосфор $_{15}^{32}\text{P}$, использующийся для диагностики болезней кровообращения, имеет период полураспада 14,3 дня. Найдите активность образца с числом атомов $N = 5 \cdot 10^{16}$.

Дано:

Период полураспада фосфора-32, $T_{1/2} = 14,3$ дня

Число атомов в образце, $N = 5 \cdot 10^{16}$

Переведем период полураспада в систему СИ (секунды):

$T_{1/2} = 14,3 \text{ дня} = 14,3 \cdot 24 \text{ часов} = 14,3 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} = 1235520 \text{ с}$

Найти:

Активность образца, $A$ — ?

Решение:

Активность $A$ радиоактивного образца — это число распадов ядер в единицу времени. Она связана с числом радиоактивных атомов $N$ и постоянной распада $\lambda$ следующей формулой:

$A = \lambda N$

Постоянная распада $\lambda$, в свою очередь, связана с периодом полураспада $T_{1/2}$ соотношением:

$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$

Для нахождения активности подставим второе выражение в первое:

$A = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} \cdot N$

Теперь подставим в эту формулу известные числовые значения. В качестве значения натурального логарифма двух используем $\ln 2 \approx 0,693$.

$A = \frac{0,693}{1235520 \text{ с}} \cdot 5 \cdot 10^{16}$

Произведем вычисления:

$A \approx 5,61 \cdot 10^{-7} \text{ с}^{-1} \cdot 5 \cdot 10^{16} \approx 2,805 \cdot 10^{10} \text{ с}^{-1}$

Единицей измерения активности в системе СИ является Беккерель (Бк), где $1 \text{ Бк} = 1 \text{ с}^{-1}$. Округлим результат до двух значащих цифр.

$A \approx 2,8 \cdot 10^{10} \text{ Бк}$

Ответ: активность образца составляет приблизительно $2,8 \cdot 10^{10}$ Бк.