Страница 206 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

В О П Р О С Ы

1. Дайте определение периода полураспада. Почему период полураспада не зависит от начального числа частиц?

Период полураспада ($T_{1/2}$) — это промежуток времени, в течение которого распадается в среднем половина от исходного числа радиоактивных ядер. Это фундаментальная характеристика нестабильного изотопа.

Период полураспада не зависит от начального числа частиц, потому что радиоактивный распад является вероятностным (статистическим) процессом. Для каждого отдельного ядра вероятность распада в единицу времени является постоянной величиной, называемой постоянной распада ($\lambda$), и она не зависит от количества других ядер или от времени существования самого ядра. Эта постоянная — уникальная характеристика для каждого конкретного изотопа.

Математически это следует из закона радиоактивного распада, который описывает количество нераспавшихся ядер $N$ в момент времени $t$:

$N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$

где $N_0$ — начальное число ядер, а $e$ — основание натурального логарифма.

По определению, в момент времени $t = T_{1/2}$, количество оставшихся ядер будет равно половине начального, то есть $N(T_{1/2}) = N_0/2$. Подставим это в закон распада:

$\frac{N_0}{2} = N_0 \cdot e^{-\lambda T_{1/2}}$

Как видно, начальное число ядер $N_0$ сокращается:

$\frac{1}{2} = e^{-\lambda T_{1/2}}$

Чтобы выразить $T_{1/2}$, возьмем натуральный логарифм от обеих частей уравнения:

$\ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln(e^{-\lambda T_{1/2}})$

$-\ln(2) = -\lambda T_{1/2}$

Отсюда получаем формулу для периода полураспада:

$T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}$

Эта формула наглядно демонстрирует, что период полураспада $T_{1/2}$ зависит только от постоянной распада $\lambda$ (то есть от типа изотопа) и не зависит от начального количества ядер $N_0$.

Ответ: Период полураспада — это время, за которое число радиоактивных ядер в образце уменьшается в два раза. Он не зависит от начального числа частиц, так как распад каждого ядра является случайным событием с постоянной вероятностью ($\lambda$). Математически это доказывается выводом формулы $T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}$, где отсутствует зависимость от начального числа ядер $N_0$.

2. Выведите закон радиоактивного распада.

2. Выведите закон радиоактивного распада.

Дано:

Основное положение теории радиоактивного распада: скорость распада (число распадов в единицу времени) прямо пропорциональна числу имеющихся нераспавшихся ядер. Математически это выражается как дифференциальное уравнение:

$-\frac{dN}{dt} = \lambda N$

где $N$ - число нераспавшихся ядер в момент времени $t$, $t$ - время, $\lambda$ - постоянная распада (положительная константа, характеризующая конкретный изотоп). Знак "минус" указывает на то, что число ядер $N$ со временем уменьшается.

Начальное условие: в момент времени $t=0$ число ядер равно $N_0$.

Найти:

Интегральную форму закона радиоактивного распада — зависимость числа нераспавшихся ядер от времени, $N(t)$.

Решение:

Мы имеем дифференциальное уравнение первого порядка: $\frac{dN}{dt} = -\lambda N$. Для его решения используем метод разделения переменных. Перенесем все члены, содержащие $N$, в левую часть, а члены, содержащие $t$, — в правую:

$\frac{dN}{N} = -\lambda dt$

Теперь проинтегрируем обе части уравнения. Левую часть интегрируем в пределах от начального числа ядер $N_0$ до текущего числа $N$. Правую часть — от начального момента времени $0$ до текущего момента $t$:

$\int_{N_0}^{N} \frac{dN}{N} = \int_{0}^{t} -\lambda dt$

Вычисляем определенные интегралы. Интеграл от $\frac{1}{N}$ есть натуральный логарифм $\ln N$.

$[\ln N]_{N_0}^{N} = [-\lambda t]_{0}^{t}$

Подставляем пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница:

$\ln(N) - \ln(N_0) = -\lambda t - (-\lambda \cdot 0)$

Используя свойство логарифмов $\ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})$, преобразуем левую часть:

$\ln\left(\frac{N}{N_0}\right) = -\lambda t$

Чтобы выразить $N$, необходимо выполнить операцию потенцирования, то есть взять экспоненту (возвести число $e$ в степень) от обеих частей равенства:

$e^{\ln\left(\frac{N}{N_0}\right)} = e^{-\lambda t}$

Поскольку экспонента и натуральный логарифм — взаимно обратные функции ($e^{\ln x} = x$), получаем:

$\frac{N(t)}{N_0} = e^{-\lambda t}$

Наконец, выражаем $N$ как функцию от $t$:

$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$

Это и есть закон радиоактивного распада. Он показывает, что число радиоактивных ядер уменьшается со временем по экспоненциальному закону.

Ответ: Закон радиоактивного распада, выведенный из основного дифференциального уравнения, имеет вид $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$, где $N(t)$ — число нераспавшихся ядер в момент времени $t$, $N_0$ — начальное число ядер, а $\lambda$ — постоянная распада, характерная для данного вещества.

3. Постройте график зависимости числа нераспавшихся атомов от времени при двух различных значениях периода полураспада.

Решение

Зависимость числа нераспавшихся радиоактивных ядер $N$ от времени $t$ описывается законом радиоактивного распада:

$N(t) = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$

где:

- $N_0$ — начальное число атомов (в момент времени $t=0$);

- $N(t)$ — число нераспавшихся атомов в момент времени $t$;

- $T$ — период полураспада, то есть время, за которое распадается половина исходного числа радиоактивных атомов.

Эта функция представляет собой экспоненциальное убывание. График этой зависимости — плавно спадающая кривая, которая начинается в точке $(0, N_0)$ и асимптотически приближается к оси времени.

Рассмотрим два различных радиоактивных вещества с периодами полураспада $T_1$ и $T_2$. Пусть для определенности $T_1 < T_2$. Это означает, что первое вещество распадается быстрее, чем второе.

Оба графика будут начинаться из одной и той же точки $(0, N_0)$, предполагая, что начальное количество атомов одинаково. Однако, из-за различия в периодах полураспада, кривые будут иметь разную крутизну:

- Для вещества с меньшим периодом полураспада ($T_1$) график будет спадать быстрее. Уже через время $T_1$ число атомов уменьшится вдвое.

- Для вещества с большим периодом полураспада ($T_2$) график будет более пологим. Число атомов уменьшится вдвое только через большее время $T_2$.

Таким образом, при любом $t > 0$ кривая для $T_1$ будет лежать ниже кривой для $T_2$.

Графически это выглядит следующим образом:

На графике показаны две кривые, соответствующие двум веществам с периодами полураспада $T_1$ и $T_2$, при условии $T_1 < T_2$. Обе кривые начинаются в точке $N_0$. Кривая для вещества с меньшим периодом полураспада (синяя, обозначена $T_1$) спадает быстрее, чем кривая для вещества с большим периодом полураспада (красная, обозначена $T_2$), что отражает более быстрый распад.

Ответ: График зависимости числа нераспавшихся атомов $N$ от времени $t$ является экспоненциально затухающей кривой, описываемой формулой $N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T}$. Для двух веществ с разными периодами полураспада $T_1$ и $T_2$ (пусть $T_1 < T_2$) оба графика начинаются в точке $(0, N_0)$, но кривая для вещества с меньшим периодом полураспада ($T_1$) будет спадать круче (лежать ниже), чем кривая для вещества с большим периодом полураспада ($T_2$). Графическое представление приведено в решении.

4. Какая физическая величина характеризует скорость радиоактивного распада? В каких единицах она измеряется?

Какая физическая величина характеризует скорость радиоактивного распада?

Скорость радиоактивного распада как внутреннее свойство конкретного радионуклида характеризуют две взаимосвязанные величины:

• Период полураспада ($T_{1/2}$). Это промежуток времени, в течение которого исходное число радиоактивных ядер в образце уменьшается в среднем в два раза. Чем меньше период полураспада, тем быстрее (интенсивнее) протекает распад.
• Постоянная распада ($\lambda$). Эта величина характеризует вероятность распада одного атомного ядра за единицу времени. Чем больше постоянная распада, тем выше скорость распада.

Эти величины связаны между собой следующей формулой: $T_{1/2} = \frac{\ln{2}}{\lambda} \approx \frac{0.693}{\lambda}$.

Если же необходимо охарактеризовать скорость распада в конкретном радиоактивном образце в данный момент времени, то для этого используется физическая величина активность ($A$). Активность определяется как число распадов ядер в единицу времени.

Ответ: Скорость радиоактивного распада характеризуют период полураспада ($T_{1/2}$), постоянная распада ($\lambda$) и активность ($A$).

В каких единицах она измеряется?

Единицы измерения зависят от того, какая именно физическая величина рассматривается:

• Период полураспада ($T_{1/2}$) как промежуток времени измеряется в единицах времени. В Международной системе единиц (СИ) это секунда (с). На практике, в зависимости от длительности процесса, широко применяются и другие единицы: минута (мин), час (ч), сутки (сут), год.
• Постоянная распада ($\lambda$) в системе СИ имеет размерность, обратную времени, и измеряется в обратных секундах ($с^{-1}$).
• Активность ($A$) в системе СИ измеряется в беккерелях (Бк). 1 беккерель соответствует одному акту распада в секунду ($1 \text{ Бк} = 1 \text{ с}^{-1}$). Иногда используется внесистемная единица — кюри (Ки).

Ответ: Период полураспада измеряется в секундах (с) и других единицах времени; постоянная распада — в обратных секундах ($с^{-1}$); активность — в беккерелях (Бк).

5. Как используется явление радиоактивного распада?

Явление радиоактивного распада, то есть спонтанное превращение нестабильных атомных ядер в другие ядра, сопровождающееся испусканием различных частиц и излучений, нашло широкое применение в самых разных сферах человеческой деятельности.

Энергетика

• Атомные электростанции (АЭС): В ядерных реакторах используется управляемая цепная реакция деления тяжелых ядер, таких как уран-235 (${}^{235}\text{U}$) или плутоний-239 (${}^{239}\text{Pu}$). Этот процесс, являющийся видом ядерного превращения, высвобождает огромное количество тепловой энергии. Эта энергия используется для нагрева воды, получения пара и вращения турбин, которые приводят в действие электрогенераторы, вырабатывая электричество.
• Радиоизотопные термоэлектрические генераторы (РИТЭГ): Эти устройства являются автономными источниками энергии. Они используют тепло, выделяющееся при естественном радиоактивном распаде изотопов (например, плутония-238, ${}^{238}\text{Pu}$), и преобразуют его напрямую в электричество с помощью термопар (эффект Зеебека). РИТЭГи незаменимы для питания космических аппаратов, работающих вдали от Солнца (например, «Вояджер», «Новые горизонты»), а также удаленных автоматических метеостанций, маяков и другого оборудования.

Медицина

• Диагностика: В организм пациента вводят небольшое количество радиоактивных изотопов (радиофармпрепаратов), которые накапливаются в определенных органах или тканях. Специальные детекторы (гамма-камеры, ПЭТ-сканеры) улавливают испускаемое ими излучение, что позволяет получить изображение и оценить функциональное состояние органов. Широко используется, например, технеций-99m (${}^{99m}\text{Tc}$).
• Терапия (лучевая терапия): Сфокусированные пучки ионизирующего излучения (например, от источников с кобальтом-60, ${}^{60}\text{Co}$, в установках типа «гамма-нож») используются для уничтожения раковых клеток и уменьшения размеров опухолей. Также развивается таргетная терапия, при которой радиоактивные изотопы доставляются непосредственно к злокачественным клеткам.
• Стерилизация: Гамма-излучение от радиоактивных источников применяют для стерилизации медицинских инструментов, шприцев, перевязочных материалов. Этот метод позволяет уничтожить все микроорганизмы без использования высоких температур, которые могли бы повредить изделия, особенно из пластика.

Наука и техника

• Радиоуглеродный анализ: Этот метод позволяет определять возраст археологических находок и ископаемых органического происхождения. Он основан на измерении соотношения нестабильного изотопа углерода-14 (${}^{14}\text{C}$) и стабильного углерода-12 (${}^{12}\text{C}$). Поскольку ${}^{14}\text{C}$ постоянно распадается с известным периодом полураспада ($T_{1/2} \approx 5730$ лет), его остаточное количество указывает на время, прошедшее с момента гибели организма.
• Дефектоскопия: Гамма-дефектоскопия используется для контроля качества сварных швов, литых деталей и других промышленных изделий. Изделие просвечивают гамма-лучами от радиоактивного источника, а на другой стороне располагают детектор (например, фотопленку). Внутренние дефекты (трещины, пустоты) проявляются на изображении, позволяя выявить брак без разрушения детали.
• Метод меченых атомов: Радиоактивные изотопы используются в качестве индикаторов (трассеров) для изучения различных процессов: скорости химических реакций, путей метаболизма в живых организмах, процессов диффузии в твердых телах, течения жидкостей и газов в трубопроводах.
• Датчики и измерительные приборы: В бытовых детекторах дыма часто используется небольшое количество америция-241 (${}^{241}\text{Am}$). Испускаемые им альфа-частицы ионизируют воздух, создавая электрический ток. Частицы дыма нарушают этот ток, что вызывает срабатывание сигнализации. Радиоизотопные приборы также применяются для измерения толщины материалов, уровня жидкости в закрытых емкостях.

Сельское хозяйство и пищевая промышленность

• Радиационная обработка продуктов: Облучение продуктов питания (например, зерна, овощей, мяса) ионизирующим излучением позволяет уничтожить вредных насекомых, бактерии и плесень, что значительно увеличивает срок их хранения и обеспечивает безопасность.
• Стимуляция мутаций: В селекции растений облучение семян используется для искусственного вызова мутаций. Это позволяет ускорить процесс создания новых сортов с улучшенными характеристиками: повышенной урожайностью, устойчивостью к болезням или засухе.

Ответ: Явление радиоактивного распада используется в энергетике (АЭС, РИТЭГи), медицине (диагностика, терапия, стерилизация), науке и технике (радиоуглеродное датирование, дефектоскопия, датчики), а также в сельском хозяйстве и пищевой промышленности (обработка продуктов, селекция).