Страница 80 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

З А Д А Ч И

1. Квадратная рамка со стороной $a = 4$ см и сопротивлением $R = 2$ Ом находится в однородном магнитном поле ($B = 0,1$ Тл), линии индукции которого перпендикулярны плоскости рамки (рис. 73). Какой силы ток пойдёт по рамке и в каком направлении, если её выдвигать из резко очерченной области поля со скоростью $v = 5$ м/с?

Дано:

Сторона рамки $a = 4 \text{ см} = 0,04 \text{ м}$

Сопротивление рамки $R = 2 \text{ Ом}$

Магнитная индукция $B = 0,1 \text{ Тл}$

Скорость рамки $v = 5 \text{ м/с}$

Найти:

1. Силу тока $I$ и его направление.

2. Значение ЭДС индукции $ε$.

Решение:

1. Какой силы ток пойдёт по рамке и в каком направлении, если её выдвигать из резко очерченной области поля со скоростью v = 5 м/с?

При выдвигании рамки из магнитного поля в ней возникает электродвижущая сила (ЭДС) индукции, так как изменяется магнитный поток, пронизывающий рамку. ЭДС индукции, возникающая в проводнике длиной $l$, который движется со скоростью $v$ в магнитном поле $B$ перпендикулярно линиям индукции, рассчитывается по формуле: $ε = B \cdot l \cdot v$. В данном случае, ток возникает благодаря движению левой вертикальной стороны рамки, которая находится в магнитном поле. Ее длина $l=a$. Подставив числовые значения, найдем ЭДС индукции: $ε = 0,1 \text{ Тл} \cdot 0,04 \text{ м} \cdot 5 \text{ м/с} = 0,02 \text{ В}$.

Зная ЭДС и сопротивление рамки, силу индукционного тока $I$ можно найти по закону Ома для полной цепи: $I = \frac{ε}{R}$ $I = \frac{0,02 \text{ В}}{2 \text{ Ом}} = 0,01 \text{ А}$.

Направление индукционного тока определяется по правилу Ленца. Внешний магнитный поток, направленный в плоскость чертежа (от наблюдателя), при выдвигании рамки уменьшается. Следовательно, индукционный ток должен создать собственное магнитное поле, которое будет препятствовать этому уменьшению, то есть оно должно быть направлено так же — в плоскость чертежа. Используя правило правой руки (правило буравчика), определяем, что для создания такого поля ток в рамке должен течь по часовой стрелке.

Ответ: сила тока в рамке равна $0,01 \text{ А}$, направление тока — по часовой стрелке.

2. Найдите значение ЭДС индукции в проволочной рамке.

Значение ЭДС индукции ($ε$) можно найти по закону электромагнитной индукции Фарадея, согласно которому ЭДС индукции равна по модулю скорости изменения магнитного потока через контур: $ε = |\frac{ΔΦ}{Δt}|$. Магнитный поток $Φ$ равен произведению модуля вектора магнитной индукции $B$ на площадь $S$ части рамки, находящейся в поле, и на косинус угла между вектором $B$ и нормалью к плоскости рамки. Так как поле перпендикулярно плоскости рамки, $Φ = B \cdot S$.

При выдвигании рамки со скоростью $v$, за малый промежуток времени $Δt$ площадь рамки в поле уменьшается на величину $ΔS = a \cdot (v \cdot Δt)$. Тогда изменение магнитного потока составляет: $ΔΦ = B \cdot ΔS = B \cdot a \cdot v \cdot Δt$. Подставляя это в формулу для ЭДС, получаем: $ε = |\frac{B \cdot a \cdot v \cdot Δt}{Δt}| = B \cdot a \cdot v$.

Выполним расчет: $ε = 0,1 \text{ Тл} \cdot 0,04 \text{ м} \cdot 5 \text{ м/с} = 0,02 \text{ В}$.

Ответ: ЭДС индукции в проволочной рамке равна $0,02 \text{ В}$.

2. Найдите значение ЭДС индукции в проволочной рамке при равномерном уменьшении магнитного потока на 6 мВб за 0,05 с.

Дано:

Изменение магнитного потока, $|\Delta\Phi| = 6 \text{ мВб}$

Промежуток времени, $\Delta t = 0,05 \text{ с}$

Переведем единицы в систему СИ:

$|\Delta\Phi| = 6 \times 10^{-3} \text{ Вб}$

$\Delta t = 0,05 \text{ с}$

Найти:

Значение ЭДС индукции, $\mathcal{E}_i$

Решение:

Для нахождения ЭДС индукции воспользуемся законом электромагнитной индукции Фарадея. Согласно этому закону, ЭДС индукции, возникающая в замкнутом контуре, равна по модулю скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную этим контуром.

Формула закона Фарадея:

$\mathcal{E}_i = - \frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$

Знак «минус» в формуле выражает правило Ленца, которое определяет направление индукционного тока. Поскольку в задаче требуется найти значение (величину) ЭДС, нас интересует модуль этого значения.

В условии сказано, что магнитный поток равномерно уменьшается. Это означает, что изменение потока $\Delta\Phi$ является отрицательной величиной:

$\Delta\Phi = -6 \text{ мВб} = -6 \times 10^{-3} \text{ Вб}$

Теперь подставим данные значения в формулу для расчета ЭДС индукции:

$\mathcal{E}_i = - \frac{-6 \times 10^{-3} \text{ Вб}}{0,05 \text{ с}}$

Выполним вычисления:

$\mathcal{E}_i = \frac{6 \times 10^{-3}}{0,05} \text{ В} = \frac{0,006}{0,05} \text{ В} = 0,12 \text{ В}$

Ответ: $0,12 \text{ В}$.

3. При равномерном возрастании индукции магнитного поля, перпендикулярного поперечному сечению проволочной катушки площадью $10 \text{ см}^2$, от $0$ до $0,2 \text{ Тл}$ за $0,001 \text{ с}$ на её концах возникло напряжение $100 \text{ В}$. Сколько витков $N$ имеет катушка?

Дано:

Площадь поперечного сечения катушки, $S = 10 \text{ см}^2$

Начальная индукция магнитного поля, $B_1 = 0 \text{ Тл}$

Конечная индукция магнитного поля, $B_2 = 0.2 \text{ Тл}$

Промежуток времени, $\Delta t = 0.001 \text{ с}$

ЭДС индукции (напряжение), $\mathcal{E} = 100 \text{ В}$

Перевод в систему СИ:

$S = 10 \text{ см}^2 = 10 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 10 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.001 \text{ м}^2$

$\Delta t = 0.001 \text{ с} = 10^{-3} \text{ с}$

Найти:

Число витков катушки, $N$.

Решение:

При изменении магнитного потока, пронизывающего контур, в нем возникает электродвижущая сила (ЭДС) индукции. Это явление описывается законом электромагнитной индукции Фарадея. Для катушки, состоящей из $N$ витков, ЭДС индукции определяется формулой: $$ \mathcal{E} = -N \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} $$ где $\Delta \Phi$ - изменение магнитного потока за время $\Delta t$. Знак "минус" отражает правило Ленца, но для нахождения числа витков мы будем использовать модуль ЭДС: $$ |\mathcal{E}| = N \frac{|\Delta \Phi|}{\Delta t} $$ Магнитный поток $\Phi$ через один виток площадью $S$ определяется как: $$ \Phi = B \cdot S \cdot \cos(\alpha) $$ где $B$ - индукция магнитного поля, а $\alpha$ - угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью (перпендикуляром) к плоскости витка.

По условию задачи, магнитное поле перпендикулярно поперечному сечению катушки, следовательно, угол $\alpha = 0^\circ$, и $\cos(0^\circ) = 1$. Тогда формула для магнитного потока упрощается: $$ \Phi = B \cdot S $$ Изменение магнитного потока $\Delta \Phi$ за время $\Delta t$ равно: $$ \Delta \Phi = \Phi_2 - \Phi_1 = B_2 \cdot S - B_1 \cdot S = (B_2 - B_1) \cdot S = \Delta B \cdot S $$ Подставим это выражение в закон Фарадея: $$ |\mathcal{E}| = N \frac{\Delta B \cdot S}{\Delta t} $$ Выразим из этой формулы искомое число витков $N$: $$ N = \frac{|\mathcal{E}| \cdot \Delta t}{\Delta B \cdot S} $$ Теперь подставим числовые значения в систему СИ: $$ \Delta B = B_2 - B_1 = 0.2 \text{ Тл} - 0 \text{ Тл} = 0.2 \text{ Тл} $$ $$ N = \frac{100 \text{ В} \cdot 0.001 \text{ с}}{0.2 \text{ Тл} \cdot 0.001 \text{ м}^2} $$ $$ N = \frac{100 \cdot 0.001}{0.2 \cdot 0.001} = \frac{100}{0.2} = \frac{1000}{2} = 500 $$

Ответ: катушка имеет 500 витков.