Страница 75 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

3. При каком условии заканчивается перераспределение зарядов в проводнике, движущемся в магнитном поле?

Решение

Когда проводник, содержащий свободные носители заряда (например, электроны в металле), движется в магнитном поле, на эти заряды начинает действовать магнитная сила, являющаяся частью силы Лоренца. Эта сила заставляет заряды перемещаться внутри проводника.

Сила Лоренца $\vec{F_Л}$, действующая на заряд $q$, который движется вместе с проводником со скоростью $\vec{v}$ в магнитном поле с индукцией $\vec{B}$, определяется векторным произведением:

$\vec{F_Л} = q(\vec{v} \times \vec{B})$

Под действием этой силы происходит разделение зарядов: на одной стороне проводника накапливается избыточный положительный заряд, а на другой — избыточный отрицательный. Это разделение зарядов создает внутри проводника внутреннее электростатическое поле с напряженностью $\vec{E}$.

Данное электрическое поле, в свою очередь, действует на свободные заряды с электрической силой (силой Кулона) $\vec{F_Э}$:

$\vec{F_Э} = q\vec{E}$

Направление электрической силы $\vec{F_Э}$ противоположно направлению магнитной силы $\vec{F_Л}$, которая и вызвала это разделение. Процесс перераспределения зарядов продолжается до тех пор, пока электрическая сила не станет равной по модулю и противоположной по направлению магнитной силе. В этот момент суммарная сила, действующая на свободные заряды внутри проводника, становится равной нулю.

$\vec{F_Л} + \vec{F_Э} = 0$

Как только это равновесие достигается, движение (перераспределение) зарядов внутри проводника прекращается. Таким образом, условием прекращения перераспределения зарядов является равенство модулей магнитной и электрической сил, действующих на свободные носители заряда.

$F_Л = F_Э$

или в скалярной форме:

$|q v B \sin\alpha| = |q E|$

где $\alpha$ — это угол между вектором скорости проводника $\vec{v}$ и вектором магнитной индукции $\vec{B}$.

Ответ: Перераспределение зарядов в проводнике, движущемся в магнитном поле, заканчивается, когда электрическая сила, создаваемая внутренним электрическим полем из-за разделения зарядов, полностью компенсирует (уравновешивает) магнитную силу Лоренца, действующую на свободные носители заряда.

4. Чему равна ЭДС индукции на концах проводника длиной $l$, движущегося со скоростью $\vec{v}$ перпендикулярно линиям индукции $\vec{B}$ однородного магнитного поля?

Дано:

Длина проводника: $l$

Скорость проводника: $\vec{v}$

Вектор магнитной индукции однородного поля: $\vec{B}$

Проводник движется перпендикулярно линиям магнитной индукции: $\vec{v} \perp \vec{B}$

Найти:

ЭДС индукции на концах проводника: $\mathcal{E}_{i}$

Решение:

Когда проводник движется в магнитном поле, на свободные носители заряда (электроны) внутри него начинает действовать сила Лоренца. Эта сила заставляет заряды перемещаться, что приводит к их разделению и возникновению на концах проводника разности потенциалов, то есть ЭДС индукции.

Сила Лоренца $\vec{F}_Л$, действующая на заряд $q$, движущийся со скоростью $\vec{v}$ в магнитном поле с индукцией $\vec{B}$, определяется по формуле:

$\vec{F}_Л = q[\vec{v} \times \vec{B}]$

Эта сила вызывает перемещение свободных зарядов вдоль проводника. На одном его конце скапливается избыточный положительный заряд, на другом — отрицательный. В результате внутри проводника возникает электрическое поле, которое препятствует дальнейшему разделению зарядов. Равновесие наступает, когда сила, действующая на заряды со стороны этого электрического поля, уравновешивает силу Лоренца.

ЭДС индукции $\mathcal{E}_i$ по определению равна работе, совершаемой сторонними силами (в данном случае силой Лоренца) при перемещении единичного положительного заряда вдоль всей длины проводника.

$ \mathcal{E}_i = \frac{A_{ст}}{q} $

Работа $A_{ст}$ равна произведению модуля силы Лоренца $F_Л$ на длину проводника $l$ (при условии, что сила направлена вдоль проводника):

$A_{ст} = F_Л \cdot l$

Модуль силы Лоренца вычисляется по формуле $F_Л = |q|vB\sin\alpha$, где $\alpha$ — угол между векторами скорости $\vec{v}$ и магнитной индукции $\vec{B}$.

По условию задачи, проводник движется перпендикулярно линиям индукции, следовательно, угол $\alpha = 90^\circ$, а $\sin(90^\circ) = 1$.

Тогда модуль силы Лоренца: $F_Л = |q|vB$.

Для возникновения максимальной ЭДС необходимо, чтобы сам проводник был расположен перпендикулярно как вектору скорости, так и вектору магнитной индукции. В этом случае сила Лоренца будет направлена вдоль проводника, и работа будет максимальной.

$A_{ст} = |q|vB \cdot l$

Подставляя выражение для работы в формулу для ЭДС, получаем:

$\mathcal{E}_i = \frac{|q|vBl}{|q|} = vBl$

Таким образом, ЭДС индукции на концах проводника, движущегося перпендикулярно линиям однородного магнитного поля, равна произведению модуля магнитной индукции, скорости проводника и его активной длины.

Ответ: ЭДС индукции на концах проводника равна $\mathcal{E}_i = Bvl$.

5. Объясните, почему силу тока, проходящего через лампу (см. рис. 68), можно рассчитать по формуле (46).

Силу тока, проходящего через лампу, можно рассчитать по формуле (46), которая определяет силу тока как отношение электрического заряда, прошедшего через поперечное сечение проводника, ко времени его прохождения: $I = \frac{q}{t}$. Возможность применения этой формулы для лампы в цепи (показанной на рис. 68) объясняется правилами измерения силы тока.

1. Способ измерения силы тока. Сила тока измеряется с помощью прибора, называемого амперметром. Чтобы измерить силу тока, проходящего через какой-либо потребитель (в данном случае — лампу), амперметр необходимо включить в цепь последовательно с этим потребителем. На схеме (рис. 68) амперметр и лампа соединены именно таким образом.

2. Свойство последовательного соединения. Ключевым свойством последовательного соединения является то, что сила тока одинакова во всех его участках. Это напрямую следует из закона сохранения электрического заряда: заряд не может накапливаться или исчезать в какой-либо точке неразветвленной цепи. Следовательно, количество заряда, проходящее за единицу времени через амперметр, в точности равно количеству заряда, проходящему за то же время через нить накала лампы.

3. Заключение. Поскольку сила тока в лампе и в последовательно соединенном с ней амперметре одинакова, то показания амперметра (который как раз и измеряет величину $I$ по принципу, заложенному в формуле $I = \frac{q}{t}$) соответствуют силе тока, проходящего через лампу. Таким образом, рассчитав или измерив силу тока в любом месте данного участка цепи, мы находим силу тока и в лампе.

Ответ: Силу тока через лампу можно рассчитать по указанной формуле, потому что для ее измерения используется амперметр, включенный в цепь последовательно с лампой. При последовательном соединении сила тока во всех элементах цепи одинакова. Поэтому ток, измеренный амперметром, равен току, проходящему через лампу, а сам амперметр определяет силу тока в соответствии с ее физическим определением ($I = \frac{q}{t}$).

ЗАДАЧИ

1. Самолёт летит горизонтально со скоростью $v = 1080$ км/ч. Найдите разность потенциалов между концами его крыльев (размах крыльев $l = 30$ м), если модуль вертикальной составляющей индукции магнитного поля Земли $B = 5 \cdot 10^{-5}$ Тл.

Дано:

$v = 1080 \text{ км/ч}$

$l = 30 \text{ м}$

$B = 5 \cdot 10^{-5} \text{ Тл}$

$v = 1080 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 1080 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 300 \text{ м/с}$

Найти:

Разность потенциалов $\Delta\varphi$

Решение:

Когда самолет летит горизонтально, его крылья, являющиеся проводником, пересекают вертикальные силовые линии магнитного поля Земли. Вследствие этого в крыльях возникает явление электромагнитной индукции. На свободных зарядах в проводнике (крыльях) начинает действовать сила Лоренца, которая приводит к разделению зарядов и возникновению разности потенциалов между концами крыльев. Эта разность потенциалов равна ЭДС индукции, возникающей в проводнике.

ЭДС индукции $\mathcal{E}$ в проводнике длиной $l$, движущемся со скоростью $v$ в магнитном поле с индукцией $B$, определяется по формуле:

$\mathcal{E} = B \cdot l \cdot v \cdot \sin\alpha$

где $\alpha$ — это угол между вектором скорости проводника $\vec{v}$ и вектором магнитной индукции $\vec{B}$.

В условии задачи сказано, что самолет летит горизонтально, а также дана вертикальная составляющая индукции магнитного поля Земли. Это означает, что вектор скорости $\vec{v}$ перпендикулярен вектору вертикальной составляющей магнитной индукции $\vec{B}$. Следовательно, угол $\alpha$ между ними равен $90^\circ$, а $\sin(90^\circ) = 1$.

Таким образом, разность потенциалов $\Delta\varphi$ между концами крыльев будет равна ЭДС индукции и может быть вычислена по упрощенной формуле:

$\Delta\varphi = \mathcal{E} = B \cdot l \cdot v$

Подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ:

$\Delta\varphi = 5 \cdot 10^{-5} \text{ Тл} \cdot 30 \text{ м} \cdot 300 \text{ м/с}$

Выполним вычисления:

$\Delta\varphi = (5 \cdot 30 \cdot 300) \cdot 10^{-5} \text{ В} = 45000 \cdot 10^{-5} \text{ В} = 0,45 \text{ В}$

Ответ: разность потенциалов между концами его крыльев равна 0,45 В.

2. В одной плоскости с прямым длинным проводником с током находится прямо-угольная проволочная рамка, две стороны которой параллельны направлению тока в проводнике. Будет ли возникать индукционный ток в рамке и каким будет его направление, если рамка движется в собственной плоскости от провода; к проводу; вдоль провода?

Индукционный ток в замкнутом контуре (в данном случае, в рамке) возникает в соответствии с законом электромагнитной индукции Фарадея. Согласно этому закону, ЭДС индукции, а следовательно и индукционный ток, возникает тогда, когда изменяется магнитный поток, пронизывающий площадь контура. Направление индукционного тока определяется правилом Ленца: индукционный ток имеет такое направление, чтобы своим магнитным полем противодействовать изменению магнитного потока, которое его вызвало.

Прямой длинный проводник с током создает вокруг себя неоднородное магнитное поле, индукция которого $B$ убывает с расстоянием $r$ от проводника по закону $B \sim 1/r$. Направление вектора магнитной индукции определяется по правилу правой руки. Пусть ток в проводнике течет вверх, тогда в области, где находится рамка (справа от провода), магнитное поле будет направлено перпендикулярно плоскости рамки от нас.

Магнитный поток $\Phi_B$, пронизывающий рамку, зависит от величины магнитной индукции $B$ и площади рамки. Индукционный ток возникнет, если этот поток будет меняться со временем, то есть $\mathcal{E}_i = - \frac{\Delta\Phi_B}{\Delta t} \ne 0$.

...если рамка движется в собственной плоскости от провода

При движении рамки от провода, она перемещается в область более слабого магнитного поля, так как расстояние до провода увеличивается. В результате магнитный поток, пронизывающий рамку, уменьшается ($\Delta\Phi_B < 0$). Согласно правилу Ленца, в рамке возникнет индукционный ток, который создаст собственное магнитное поле, направленное так же, как и внешнее поле (в данном примере, от нас), чтобы скомпенсировать уменьшение потока. Применяя правило правой руки для рамки, определяем, что ток должен течь по часовой стрелке.

Ответ: Да, индукционный ток будет возникать. Его направление будет по часовой стрелке (если смотреть на плоскость так, что ток в прямом проводнике течет вверх, а рамка находится справа от него).

...к проводу

При движении рамки к проводу, она перемещается в область более сильного магнитного поля, так как расстояние до провода уменьшается. В результате магнитный поток, пронизывающий рамку, увеличивается ($\Delta\Phi_B > 0$). Согласно правилу Ленца, возникший индукционный ток создаст собственное магнитное поле, направленное противоположно внешнему полю (в данном примере, на нас), чтобы противодействовать увеличению потока. Применяя правило правой руки для рамки, определяем, что ток должен течь против часовой стрелки.

Ответ: Да, индукционный ток будет возникать. Его направление будет против часовой стрелки (при тех же условиях, что и в предыдущем пункте).

...вдоль провода

Когда рамка движется параллельно проводу, расстояние от каждой точки рамки до провода остается неизменным. Поскольку магнитное поле, создаваемое проводом, зависит только от расстояния до него, распределение магнитного поля по площади рамки не меняется во время такого движения. Следовательно, магнитный поток, пронизывающий рамку, остается постоянным ($\Delta\Phi_B = 0$). Так как изменение магнитного потока равно нулю, ЭДС индукции и индукционный ток не возникают.

Ответ: Нет, индукционный ток в рамке возникать не будет.

3. Проводящая медная перемычка длиной $l = 0,2$ м с поперечным сечением $S = 0,017$ мм$^2$ равномерно скользит со скоростью $v = 3,2$ м/с по проводам $(R_{\text{пр}} = 0)$, замкнутым на резистор $R = 0,3$ Ом. Найдите силу тока, протекающего через резистор, если вектор индукции магнитного поля перпендикулярен плоскости движения перемычки, $B = 0,1$ Тл.

Дано:

$l = 0,2$ м

$S = 0,017 \text{ мм}^2 = 0,017 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 = 1,7 \cdot 10^{-8} \text{ м}^2$

$v = 3,2$ м/с

$R = 0,3$ Ом

$R_{пр} = 0$ Ом

$B = 0,1$ Тл

Удельное сопротивление меди $\rho = 1,7 \cdot 10^{-8}$ Ом$\cdot$м (справочное значение).

Найти:

$I$ - ?

Решение:

При движении проводящей перемычки в магнитном поле в ней возникает ЭДС индукции. Так как вектор магнитной индукции $B$ перпендикулярен скорости движения $v$ и самой перемычке, величина ЭДС индукции определяется по формуле:

$\mathcal{E} = B \cdot l \cdot v$

Перемычка вместе с резистором образует замкнутую электрическую цепь. Полное сопротивление этой цепи $R_{общ}$ равно сумме сопротивления резистора $R$ и собственного сопротивления медной перемычки $R_{перем}$ (сопротивлением проводов пренебрегаем по условию).

Сопротивление перемычки можно рассчитать по формуле:

$R_{перем} = \rho \frac{l}{S}$

где $\rho$ - удельное сопротивление меди, $l$ - длина перемычки, $S$ - площадь ее поперечного сечения.

Тогда полное сопротивление цепи:

$R_{общ} = R + R_{перем} = R + \rho \frac{l}{S}$

Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока $I$, протекающего через резистор (и через всю цепь), равна:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R_{общ}} = \frac{B l v}{R + \rho \frac{l}{S}}$

Подставим числовые значения и произведем вычисления.

Найдем сопротивление перемычки:

$R_{перем} = 1,7 \cdot 10^{-8} \frac{0,2}{1,7 \cdot 10^{-8}} = 0,2$ Ом

Найдем полное сопротивление цепи:

$R_{общ} = 0,3 \text{ Ом} + 0,2 \text{ Ом} = 0,5$ Ом

Найдем ЭДС индукции:

$\mathcal{E} = 0,1 \cdot 0,2 \cdot 3,2 = 0,064$ В

Найдем силу тока:

$I = \frac{0,064 \text{ В}}{0,5 \text{ Ом}} = 0,128$ А

Ответ: сила тока, протекающего через резистор, равна $0,128$ А.