Страница 69 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

В О П Р О С Ы

1. Почему энергия прямого проводника с током меньше, чем согнутого в виток?

Почему энергия прямого проводника с током меньше, чем согнутого в виток?

Решение

Энергия проводника с током — это энергия создаваемого им магнитного поля. Эта энергия $W$ определяется индуктивностью проводника $L$ и квадратом силы тока $I$ в нём по формуле:

$W = \frac{LI^2}{2}$

В условии задачи сравниваются два случая: прямой проводник и тот же проводник, согнутый в виток. Предполагается, что сила тока $I$ в обоих случаях одинакова. Следовательно, различие в энергии определяется исключительно различием в их индуктивностях $L$. Чтобы ответить на вопрос, нужно сравнить индуктивность прямого проводника и витка.

Индуктивность $L$ является мерой способности контура создавать магнитный поток $\Phi$ при протекании через него тока $I$. Она определяется как отношение магнитного потока, пронизывающего контур, к силе тока:

$L = \frac{\Phi}{I}$

Рассмотрим, как геометрия проводника влияет на создаваемый им магнитный поток и, соответственно, на индуктивность.

1. Прямой проводник: Вокруг прямого проводника с током создаётся магнитное поле. Линии магнитной индукции этого поля представляют собой концентрические окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных проводу. Поле распределено в пространстве вокруг проводника, но оно не сконцентрировано в какой-либо одной области, и не создается значительного магнитного потока, пронизывающего сам контур (поскольку контур не замкнут в привычном смысле). Индуктивность длинного прямого провода относительно мала.

2. Проводник, согнутый в виток: Когда проводник сгибают в виток (например, в кольцо), ситуация кардинально меняется. Магнитные поля от каждого элементарного участка провода складываются внутри витка. Согласно правилу буравчика (или правилу правой руки), все линии магнитной индукции внутри витка направлены в одну сторону. Это приводит к созданию сильного и сконцентрированного магнитного поля в области, ограниченной витком, и слабого поля снаружи. В результате возникает значительный магнитный поток $\Phi$, пронизывающий площадь, охватываемую витком.

Таким образом, при одинаковой силе тока $I$, магнитный поток, создаваемый витком ($\Phi_{\text{витка}}$), оказывается значительно больше магнитного потока, связанного с прямым проводником ($\Phi_{\text{прямого}}$).

Поскольку индуктивность прямо пропорциональна магнитному потоку ($L = \Phi/I$), то из того, что $\Phi_{\text{витка}} \gg \Phi_{\text{прямого}}$, следует, что индуктивность витка $L_{\text{витка}}$ намного больше индуктивности прямого проводника $L_{\text{прямого}}$.

Возвращаясь к формуле для энергии $W = \frac{LI^2}{2}$, мы видим, что при одинаковом токе $I$, большая индуктивность $L$ означает большую запасённую энергию $W$. Так как $L_{\text{витка}} > L_{\text{прямого}}$, то и энергия магнитного поля витка $W_{\text{витка}}$ будет больше энергии магнитного поля прямого проводника $W_{\text{прямого}}$.

Ответ: Энергия проводника с током запасается в его магнитном поле и прямо пропорциональна его индуктивности ($W = LI^2/2$). Когда прямой проводник сгибают в виток, его индуктивность значительно возрастает. Это происходит потому, что магнитные поля от отдельных участков провода складываются и концентрируются внутри витка, создавая сильный магнитный поток через его площадь. Поскольку индуктивность витка больше индуктивности прямого провода, то при одинаковом токе энергия витка также будет больше.

2. Почему собственный магнитный поток, пронизывающий виток с током, пропорционален силе тока в витке?

Собственный магнитный поток, пронизывающий виток с током, пропорционален силе тока в этом витке из-за фундаментальной линейной связи между электрическим током и создаваемым им магнитным полем. Эту зависимость можно объяснить в несколько шагов.

Связь магнитного поля и тока. Согласно закону Био-Савара-Лапласа, индукция магнитного поля $d\vec{B}$, создаваемая элементом проводника $d\vec{l}$ с током $I$ в некоторой точке пространства, прямо пропорциональна силе этого тока:

$d\vec{B} = \frac{\mu_0 \mu}{4\pi} \frac{I [d\vec{l} \times \vec{r}]}{r^3}$

где $\mu_0$ — магнитная постоянная, $\mu$ — относительная магнитная проницаемость среды, $\vec{r}$ — радиус-вектор от элемента $d\vec{l}$ до точки, в которой определяется поле. Поскольку сила тока $I$ является скалярной величиной и одинакова для всего замкнутого контура (витка), то при интегрировании для нахождения полного вектора магнитной индукции $\vec{B}$ в любой точке пространства, создаваемого всем витком, сила тока $I$ выносится за знак интеграла. Следовательно, модуль вектора магнитной индукции $B$ в каждой точке пространства, создаваемой витком, прямо пропорционален силе тока $I$ в нём: $B \propto I$.

Определение магнитного потока. Магнитный поток $\Phi$ через некоторую поверхность $S$ (в данном случае, через площадь, ограниченную витком) определяется как интеграл от вектора магнитной индукции $\vec{B}$ по этой поверхности:

$\Phi = \int_S \vec{B} \cdot d\vec{S}$

Установление пропорциональности. Мы установили, что индукция магнитного поля $\vec{B}$ в каждой точке пропорциональна силе тока $I$. Поскольку собственный магнитный поток $\Phi$ получается путем интегрирования этого поля по фиксированной площади контура, а геометрия контура не меняется, то и сам магнитный поток оказывается прямо пропорциональным силе тока:

$\Phi \propto I$

Эту пропорциональность записывают в виде равенства, вводя коэффициент пропорциональности $L$, который называется индуктивностью (или коэффициентом самоиндукции) контура:

$\Phi = L \cdot I$

Индуктивность $L$ не зависит от силы тока, а определяется только геометрическими параметрами контура (его формой и размерами) и магнитными свойствами окружающей среды.

Таким образом, пропорциональность собственного магнитного потока силе тока является прямым следствием линейности уравнений электромагнетизма по отношению к току, который является источником поля.

Ответ:

Собственный магнитный поток $\Phi$ пропорционален силе тока $I$ в витке, потому что магнитное поле $\vec{B}$, создаваемое этим током, согласно закону Био-Савара-Лапласа, в каждой точке пространства прямо пропорционально силе тока. Магнитный поток является интегралом от этого поля по площади витка. Так как поле линейно зависит от тока, то и его интеграл по фиксированной площади (магнитный поток) также будет линейно зависеть от тока. Коэффициент этой пропорциональности называется индуктивностью $L$ и определяется геометрией витка и свойствами среды: $\Phi = L \cdot I$.

3. Дайте определение индуктивности контура. В каких единицах она измеряется?

Дайте определение индуктивности контура.

Индуктивность (или коэффициент самоиндукции) — это физическая величина, характеризующая способность проводящего контура создавать магнитный поток при протекании через него электрического тока. Индуктивность, обозначаемая буквой $L$, определяется как коэффициент пропорциональности между полным магнитным потоком $\Phi$ (потокосцеплением), создаваемым током через поверхность, ограниченную контуром, и силой тока $I$ в этом контуре.

Математически это выражается формулой:

$L = \frac{\Phi}{I}$

Из этого определения следует, что индуктивность контура зависит от его геометрических характеристик (формы, размеров) и от магнитной проницаемости окружающей среды, но не зависит от силы тока в контуре.

Также индуктивность можно определить через явление самоиндукции. При изменении силы тока в контуре изменяется и создаваемый им магнитный поток, что, согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, приводит к возникновению в этом же контуре электродвижущей силы (ЭДС). Эту ЭДС называют ЭДС самоиндукции ($\mathcal{E}_{si}$), и она пропорциональна скорости изменения тока:

$\mathcal{E}_{si} = -L \frac{dI}{dt}$

Таким образом, индуктивность можно также определить как коэффициент пропорциональности между ЭДС самоиндукции и скоростью изменения силы тока в контуре. Знак «минус» отражает правило Ленца, согласно которому индукционный ток, вызванный ЭДС самоиндукции, препятствует изменению тока в контуре.

Ответ: Индуктивность контура — это физическая величина, являющаяся коэффициентом пропорциональности между магнитным потоком, пронизывающим контур, и силой тока в нём ($L = \Phi/I$), а также между ЭДС самоиндукции, возникающей в контуре, и скоростью изменения силы тока в нём ($\mathcal{E}_{si} = -L \frac{dI}{dt}$).

В каких единицах она измеряется?

В Международной системе единиц (СИ) единицей измерения индуктивности является генри (русское обозначение: Гн; международное: H). Эта единица названа в честь американского учёного Джозефа Генри.

Контур имеет индуктивность 1 генри, если при изменении силы тока в нём со скоростью 1 ампер в секунду возникает ЭДС самоиндукции, равная 1 вольту.

$1 \text{ Гн} = \frac{1 \text{ В}}{1 \text{ А/с}} = 1 \text{ В} \cdot \frac{\text{с}}{\text{А}}$

Исходя из определения индуктивности через магнитный поток, генри также можно выразить через вебер (Вб) — единицу магнитного потока:

$1 \text{ Гн} = 1 \frac{\text{Вб}}{\text{А}}$

Ответ: Индуктивность измеряется в генри (Гн).

4. Как определить графически работу сил магнитного поля?

Работа сил магнитного поля (сил Ампера), совершаемая при перемещении проводника с током, может быть определена графически. Эта работа связана с изменением магнитного потока, пронизывающего контур, образованный проводником.

Элементарная работа $dA$, совершаемая силами Ампера при изменении магнитного потока $d\Phi$ через контур с током $I$, определяется формулой:

$dA = I \cdot d\Phi$

Чтобы найти полную работу $A$ при изменении магнитного потока от начального значения $\Phi_1$ до конечного значения $\Phi_2$, необходимо проинтегрировать это выражение:

$A = \int_{\Phi_1}^{\Phi_2} I(\Phi) d\Phi$

Данный интеграл имеет ясный геометрический смысл. Если построить график зависимости силы тока $I$ от магнитного потока $\Phi$ (вебер-амперная характеристика), откладывая магнитный поток $\Phi$ по оси абсцисс, а силу тока $I$ — по оси ординат, то работа $A$ будет численно равна площади криволинейной трапеции. Эта трапеция ограничена графиком $I(\Phi)$, осью абсцисс ($\Phi$) и вертикальными прямыми $\Phi = \Phi_1$ и $\Phi = \Phi_2$.

В частном случае, когда сила тока $I$ в контуре поддерживается постоянной ($I = \text{const}$), формула для работы упрощается:

$A = I \int_{\Phi_1}^{\Phi_2} d\Phi = I (\Phi_2 - \Phi_1) = I \Delta\Phi$

На графике $I(\Phi)$ это соответствует площади прямоугольника с высотой $I$ и шириной $\Delta\Phi$.

Важно отметить, что работа совершается именно силами Ампера, действующими на проводник в целом. Сила Лоренца, действующая на отдельные движущиеся заряды внутри проводника, работы не совершает, так как она всегда перпендикулярна скорости этих зарядов и, следовательно, их перемещению.

Ответ: Работу сил магнитного поля можно определить графически как площадь фигуры под графиком зависимости силы тока $I$ от магнитного потока $\Phi$. По оси абсцисс откладывается магнитный поток $\Phi$, а по оси ординат — сила тока $I$. Работа, совершаемая при изменении магнитного потока от $\Phi_1$ до $\Phi_2$, численно равна площади фигуры (криволинейной трапеции), ограниченной кривой $I(\Phi)$, осью $\Phi$ и прямыми $\Phi = \Phi_1$ и $\Phi = \Phi_2$.

5. Какая энергия накапливается в контуре индуктивностью $L$ при силе тока в нём $I$?

Дано:

Индуктивность контура: $L$

Сила тока в контуре: $I$

Найти:

Энергия магнитного поля контура: $W_L$

Решение:

Когда в электрическом контуре, обладающем индуктивностью $L$, протекает ток $I$, в пространстве вокруг него создается магнитное поле. Энергия, накопленная в контуре, — это и есть энергия этого магнитного поля. Чтобы найти эту энергию, рассмотрим процесс установления тока в контуре от 0 до значения $I$.

При изменении силы тока в контуре возникает явление самоиндукции. Согласно закону Фарадея, в контуре индуцируется ЭДС самоиндукции $\mathcal{E}_{si}$, которая препятствует изменению тока. Она рассчитывается по формуле:

$$ \mathcal{E}_{si} = -L \frac{di}{dt} $$

Здесь $L$ — индуктивность контура, а $i$ — мгновенное значение силы тока. Знак "минус" отражает правило Ленца.

Чтобы увеличить ток в контуре, внешний источник питания должен совершить работу против этой ЭДС самоиндукции. Эта работа не рассеивается в виде тепла (если считать активное сопротивление контура равным нулю), а запасается в виде энергии магнитного поля.

Мгновенная мощность $P$, которую развивает источник для преодоления ЭДС самоиндукции, равна произведению тока $i$ на модуль ЭДС:

$$ P = -i \mathcal{E}_{si} = -i \left(-L \frac{di}{dt}\right) = L i \frac{di}{dt} $$

Элементарная работа $dW_L$, совершаемая источником за бесконечно малый промежуток времени $dt$, равна $dW_L = P dt$. Подставив выражение для мощности, получим:

$$ dW_L = \left(L i \frac{di}{dt}\right) dt = L i \, di $$

Полная работа, совершенная для увеличения тока от 0 до конечного значения $I$, равна полной энергии, запасенной в магнитном поле $W_L$. Мы находим её, интегрируя выражение для $dW_L$:

$$ W_L = \int_{0}^{W_L} dW_L = \int_{0}^{I} L i \, di $$

Так как индуктивность $L$ является постоянной величиной, её можно вынести за знак интеграла:

$$ W_L = L \int_{0}^{I} i \, di = L \left[ \frac{i^2}{2} \right]_{0}^{I} = L \left( \frac{I^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = \frac{LI^2}{2} $$

Таким образом, энергия, накопленная в контуре с индуктивностью $L$ при силе тока $I$, определяется полученной формулой.

Ответ: Энергия, накапливаемая в контуре, вычисляется по формуле $W_L = \frac{LI^2}{2}$.

З А Д А Ч И

1. В плоскости чертежа перпендикулярно линиям магнитной индукции, направленной от нас, расположен виток с током. Каким должно быть направление тока в кольце, чтобы работа внешних сил при повороте кольца вокруг его диаметра на $180^\circ$ была положительной?

Работа внешних сил при перемещении контура с током в магнитном поле равна изменению его потенциальной энергии. Чтобы работа внешних сил была положительной, потенциальная энергия контура в конечном положении должна быть больше, чем в начальном.

Решение

Работа внешних сил $A_{внеш}$ при повороте витка с током в магнитном поле идет на изменение его потенциальной энергии $U$: $A_{внеш} = \Delta U = U_2 - U_1$, где $U_1$ и $U_2$ — начальная и конечная потенциальные энергии витка соответственно.

Потенциальная энергия витка с током в магнитном поле определяется формулой: $U = -p_m B \cos \alpha$, где $p_m$ — модуль магнитного момента витка ($p_m = IS$, где $I$ — сила тока, $S$ — площадь витка), $B$ — модуль магнитной индукции, $\alpha$ — угол между вектором магнитного момента $\vec{p}_m$ и вектором магнитной индукции $\vec{B}$.

По условию задачи, работа внешних сил должна быть положительной: $A_{внеш} > 0$. Следовательно, $U_2 > U_1$. Подставив выражение для энергии, получим: $-p_m B \cos \alpha_2 > -p_m B \cos \alpha_1$

Разделив обе части неравенства на $-p_m B$ (величина отрицательная, так как $p_m > 0$ и $B > 0$), мы должны изменить знак неравенства на противоположный: $\cos \alpha_2 < \cos \alpha_1$

Направление вектора магнитного момента $\vec{p}_m$ определяется по правилу правой руки: если четыре пальца согнуты в направлении тока в витке, то большой палец укажет направление вектора $\vec{p}_m$. Вектор $\vec{p}_m$ всегда перпендикулярен плоскости витка.

По условию, вектор магнитной индукции $\vec{B}$ направлен от нас, перпендикулярно плоскости чертежа. Рассмотрим два возможных направления тока в кольце.

Случай 1: Ток в кольце направлен по часовой стрелке.

По правилу правой руки, вектор магнитного момента $\vec{p}_m$ также направлен от нас, то есть сонаправлен с вектором $\vec{B}$. Начальный угол $\alpha_1 = 0^\circ$. При повороте кольца на 180° вокруг его диаметра, вектор $\vec{p}_m$, связанный с кольцом, также поворачивается на 180° и будет направлен на нас, то есть противоположно вектору $\vec{B}$. Конечный угол $\alpha_2 = 180^\circ$. Проверим условие $\cos \alpha_2 < \cos \alpha_1$: $\cos 180^\circ < \cos 0^\circ$ $-1 < 1$ Неравенство верное. В этом случае работа внешних сил будет положительной: $A_{внеш} = U_2 - U_1 = (-p_m B \cos 180^\circ) - (-p_m B \cos 0^\circ) = p_m B + p_m B = 2p_m B > 0$.

Случай 2: Ток в кольце направлен против часовой стрелки.

По правилу правой руки, вектор магнитного момента $\vec{p}_m$ направлен на нас, то есть противоположно вектору $\vec{B}$. Начальный угол $\alpha_1 = 180^\circ$. При повороте кольца на 180°, вектор $\vec{p}_m$ будет направлен от нас, то есть сонаправленно с вектором $\vec{B}$. Конечный угол $\alpha_2 = 0^\circ$. Проверим условие $\cos \alpha_2 < \cos \alpha_1$: $\cos 0^\circ < \cos 180^\circ$ $1 < -1$ Неравенство неверное. В этом случае работа внешних сил будет отрицательной: $A_{внеш} = -2p_m B < 0$.

Таким образом, чтобы работа внешних сил была положительной, ток в кольце должен быть направлен по часовой стрелке.

Ответ: Ток в кольце должен быть направлен по часовой стрелке.

2. При силе тока 2,5 А в катушке возникает магнитный поток 5 мВб. Найдите индуктивность катушки.

Дано:

$I = 2,5 \text{ А}$

$\Phi = 5 \text{ мВб} = 5 \cdot 10^{-3} \text{ Вб}$

Найти:

$L$ - ?

Решение:

Магнитный поток $\Phi$, создаваемый током $I$ в катушке, прямо пропорционален силе этого тока. Коэффициентом пропорциональности является индуктивность катушки $L$. Эта связь выражается формулой:

$\Phi = L \cdot I$

Чтобы найти индуктивность катушки $L$, выразим ее из данной формулы:

$L = \frac{\Phi}{I}$

Подставим числовые значения величин, предварительно переведя их в систему СИ (что уже сделано в "Дано"):

$L = \frac{5 \cdot 10^{-3} \text{ Вб}}{2,5 \text{ А}} = 2 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}$

Результат можно представить в миллигенри (мГн), зная, что приставка "милли" означает $10^{-3}$:

$2 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} = 2 \text{ мГн}$

Ответ: индуктивность катушки равна 2 мГн.

3. В катушке, индуктивность которой 0,5 Гн, сила тока 6 А. Найдите энергию магнитного поля, запасённую в катушке.

Дано:

Индуктивность катушки $L = 0,5$ Гн

Сила тока $I = 6$ А

Все данные предоставлены в системе СИ.

Найти:

Энергию магнитного поля $W_м$.

Решение:

Энергия магнитного поля, запасённая в катушке индуктивности, определяется по формуле:

$W_м = \frac{L I^2}{2}$

где $L$ – это индуктивность катушки, а $I$ – сила тока в ней.

Поскольку все значения уже даны в единицах системы СИ, мы можем подставить их непосредственно в формулу для вычисления.

$W_м = \frac{0,5 \text{ Гн} \cdot (6 \text{ А})^2}{2} = \frac{0,5 \cdot 36}{2} = \frac{18}{2} = 9$ Дж.

Ответ: 9 Дж.