Страница 62 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

В О П Р О С Ы

1. При каких условиях заряженная частица в однородном магнитном поле движется по винтовой линии?

При каких условиях заряженная частица в однородном магнитном поле движется по винтовой линии?

Движение заряженной частицы в магнитном поле описывается силой Лоренца. Сила Лоренца $\vec{F}$, действующая на частицу с зарядом $q$, движущуюся со скоростью $\vec{v}$ в однородном магнитном поле с индукцией $\vec{B}$, определяется формулой:

$\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$

Эта сила всегда перпендикулярна как вектору скорости $\vec{v}$, так и вектору магнитной индукции $\vec{B}$. Важным следствием этого является то, что сила Лоренца не совершает работы и не изменяет кинетическую энергию частицы, а значит, и модуль её скорости. Она лишь изменяет направление вектора скорости.

Для анализа траектории частицы разложим вектор её скорости $\vec{v}$ на две составляющие:

1. $\vec{v}_{\parallel}$ — составляющая, параллельная вектору магнитной индукции $\vec{B}$.
2. $\vec{v}_{\perp}$ — составляющая, перпендикулярная вектору магнитной индукции $\vec{B}$.

Таким образом, $\vec{v} = \vec{v}_{\parallel} + \vec{v}_{\perp}$.

Теперь рассмотрим, как сила Лоренца влияет на каждую из этих составляющих:

• Движение вдоль поля: Сила, действующая на параллельную составляющую скорости, равна нулю, так как векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю: $q(\vec{v}_{\parallel} \times \vec{B}) = 0$. Это означает, что на движение частицы вдоль линий магнитного поля никакая сила не действует. Следовательно, частица движется вдоль направления поля равномерно и прямолинейно со скоростью $\vec{v}_{\parallel}$.
• Движение в плоскости, перпендикулярной полю: На перпендикулярную составляющую скорости $\vec{v}_{\perp}$ действует сила $\vec{F} = q(\vec{v}_{\perp} \times \vec{B})$. Эта сила всегда перпендикулярна $\vec{v}_{\perp}$ и лежит в плоскости, перпендикулярной вектору $\vec{B}$. Модуль этой силы постоянен (так как $v_{\perp}$ и $B$ постоянны) и равен $F = |q|v_{\perp}B$. Постоянная по модулю сила, всегда перпендикулярная скорости, является центростремительной силой. Она заставляет частицу двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной магнитному полю.

Движение по винтовой линии является результатом сложения этих двух движений:

1. Равномерного прямолинейного движения вдоль линий магнитного поля.
2. Равномерного движения по окружности в плоскости, перпендикулярной этим линиям.

Такое сложное движение возможно только тогда, когда у вектора скорости есть обе ненулевые составляющие: и параллельная ($\vec{v}_{\parallel} \neq 0$), и перпендикулярная ($\vec{v}_{\perp} \neq 0$) вектору магнитной индукции $\vec{B}$.

Рассмотрим крайние случаи:

• Если скорость частицы параллельна вектору $\vec{B}$ (угол $\alpha$ между $\vec{v}$ и $\vec{B}$ равен $0^\circ$ или $180^\circ$), то $\vec{v}_{\perp} = 0$, сила Лоренца равна нулю, и частица движется по прямой линии.
• Если скорость частицы перпендикулярна вектору $\vec{B}$ (угол $\alpha = 90^\circ$), то $\vec{v}_{\parallel} = 0$, и частица движется по окружности в плоскости, перпендикулярной полю.

Таким образом, для движения по винтовой линии необходимо, чтобы вектор начальной скорости частицы был направлен под углом $\alpha$ к вектору магнитной индукции, причем этот угол не должен быть равен $0^\circ, 90^\circ$ или $180^\circ$.

Ответ: Заряженная частица движется по винтовой линии в однородном магнитном поле, если вектор её начальной скорости направлен под углом к вектору магнитной индукции, отличным от $0^\circ, 90^\circ$ и $180^\circ$. Иными словами, вектор скорости не должен быть ни параллельным, ни перпендикулярным вектору магнитной индукции.

2. Почему в неоднородном магнитном поле изменяется радиус винтовой линии, по которой движется заряженная частица?

Движение заряженной частицы в магнитном поле описывается силой Лоренца, которая всегда перпендикулярна как вектору скорости частицы $\vec{v}$, так и вектору магнитной индукции $\vec{B}$.

1. Движение в однородном магнитном поле

Для начала рассмотрим движение частицы в однородном магнитном поле, где вектор $\vec{B}$ постоянен по модулю и направлению во всех точках пространства. Если частица влетает в такое поле под некоторым углом к линиям индукции, ее скорость можно разложить на две составляющие:

• $v_\|$ — составляющая скорости, параллельная вектору $\vec{B}$. На эту составляющую сила Лоренца не действует ($F = qv_\|B\sin(0^\circ) = 0$), поэтому частица движется равномерно и прямолинейно вдоль поля.
• $v_\perp$ — составляющая скорости, перпендикулярная вектору $\vec{B}$. На эту составляющую действует сила Лоренца $F_L = q v_\perp B$, которая всегда перпендикулярна $v_\perp$. Эта сила является центростремительной и заставляет частицу двигаться по окружности.

Радиус этой окружности определяется из равенства силы Лоренца и центростремительной силы:

$q v_\perp B = m \frac{v_\perp^2}{R}$

Отсюда радиус траектории (называемый также ларморовским радиусом) равен:

$R = \frac{m v_\perp}{q B}$

где $m$ — масса частицы, $q$ — её заряд. В однородном поле величины $m, q, v_\perp$ и $B$ постоянны, поэтому и радиус $R$ остается постоянным. Сочетание равномерного движения вдоль поля и вращения по окружности в перпендикулярной плоскости дает траекторию в виде винтовой линии с постоянным радиусом и шагом.

2. Движение в неоднородном магнитном поле

В неоднородном магнитном поле индукция $B$ изменяется от точки к точке. Когда заряженная частица перемещается в таком поле, она попадает в области с разной величиной магнитной индукции.

Из формулы для радиуса $R = \frac{m v_\perp}{q B}$ видно, что радиус винтовой линии обратно пропорционален модулю магнитной индукции $B$. Поскольку масса $m$ и заряд $q$ частицы остаются неизменными, изменение $B$ напрямую влияет на радиус $R$.

• Когда частица движется в область с более сильным магнитным полем (индукция $B$ увеличивается), знаменатель в формуле растет, и, как следствие, радиус винтовой линии $R$ уменьшается. Траектория частицы "закручивается" плотнее.
• Когда частица движется в область с более слабым магнитным полем (индукция $B$ уменьшается), радиус винтовой линии $R$ увеличивается.

Стоит отметить, что в неоднородном поле изменяется не только индукция $B$, но и перпендикулярная составляющая скорости $v_\perp$. При движении в область более сильного поля $v_\perp$ увеличивается (за счет уменьшения $v_\|$, так как полная кинетическая энергия частицы сохраняется). Однако увеличение индукции $B$ оказывает более сильное влияние на радиус, чем увеличение $v_\perp$, поэтому общим результатом все равно является сжатие винтовой линии.

Ответ: Радиус винтовой линии, по которой движется заряженная частица, изменяется в неоднородном магнитном поле потому, что этот радиус обратно пропорционален величине индукции магнитного поля ($R \propto 1/B$). При перемещении частицы по траектории она проходит через области с разной индукцией $B$, что и приводит к непрерывному изменению радиуса ее вращения.

3. Почему заряженная частица тормозится в области сильного магнитного поля?

Торможение заряженной частицы в области сильного магнитного поля — это явление, которое может быть объяснено двумя основными механизмами, в зависимости от условий. Рассмотрим каждый из них.

Для начала, важно отметить, что в идеализированном случае, в постоянном и однородном магнитном поле, сила Лоренца, действующая на частицу, всегда перпендикулярна вектору ее скорости. Сила Лоренца определяется выражением:

$ \vec{F}_L = q(\vec{v} \times \vec{B}) $

где $q$ — заряд частицы, $\vec{v}$ — ее скорость, а $\vec{B}$ — вектор магнитной индукции.

Поскольку сила перпендикулярна скорости, она не совершает работы ($A = \vec{F} \cdot \vec{s} = 0$), а значит, согласно теореме о кинетической энергии, не изменяет величину скорости частицы и ее кинетическую энергию. Сила Лоренца лишь искривляет траекторию частицы, заставляя ее двигаться по окружности или спирали с постоянной по модулю скоростью.

Однако в реальных условиях частица все же может тормозиться. Вот почему:

1. Синхротронное (или циклотронное) излучение.

Согласно классической электродинамике, любой заряд, движущийся с ускорением, излучает электромагнитные волны, которые уносят энергию. Движение частицы по криволинейной траектории в магнитном поле является движением с центростремительным ускорением $a$. Это ускорение прямо пропорционально силе Лоренца и, следовательно, величине магнитного поля $B$:

$ a = \frac{F_L}{m} = \frac{|q| v_{\perp} B}{m} $

где $v_{\perp}$ — составляющая скорости, перпендикулярная полю.

Мощность этого излучения (излучения Лармора) пропорциональна квадрату ускорения ($P \propto a^2$), а значит, она сильно зависит от индукции магнитного поля ($P \propto B^2$). В области сильного магнитного поля ускорение частицы велико, что приводит к интенсивному излучению. По закону сохранения энергии, эта излучённая энергия забирается из кинетической энергии частицы. В результате частица теряет энергию, ее скорость уменьшается, то есть она тормозится. Этот эффект особенно значителен для легких частиц (например, электронов) и при высоких скоростях.

2. Эффект магнитной пробки (магнитного зеркала).

Этот эффект проявляется, когда частица влетает в область неоднородного магнитного поля, где силовые линии сходятся, то есть индукция поля $B$ нарастает. Скорость частицы $\vec{v}$ можно разложить на две составляющие: продольную $v_{\parallel}$ (вдоль силовой линии) и поперечную $v_{\perp}$ (вращение вокруг силовой линии).

При движении частицы в такой системе сохраняется величина, называемая адиабатическим инвариантом (магнитным моментом):

$ \mu = \frac{E_{k\perp}}{B} = \frac{m v_{\perp}^2}{2B} = \text{const} $

Когда частица входит в область с возрастающим полем $B$, для сохранения инварианта $\mu$ должна увеличиваться ее поперечная кинетическая энергия $E_{k\perp}$, а следовательно, и поперечная скорость $v_{\perp}$. Поскольку сила Лоренца не совершает работы, полная кинетическая энергия частицы $E_k = E_{k\parallel} + E_{k\perp}$ (в отсутствие излучения) сохраняется. Следовательно, увеличение поперечной энергии $E_{k\perp}$ происходит за счет уменьшения продольной энергии $E_{k\parallel}$.

Уменьшение продольной кинетической энергии означает, что продольная скорость $v_{\parallel}$ падает — частица тормозится в своем движении вдоль поля. Если поле станет достаточно сильным, продольная скорость может упасть до нуля, и частица отразится от этой области, как от зеркала.

Таким образом, в зависимости от контекста, "торможение" может означать либо реальную потерю полной кинетической энергии из-за излучения, либо замедление движения в определенном направлении из-за перераспределения энергии в неоднородном поле.

Ответ: Заряженная частица тормозится в области сильного магнитного поля по двум основным причинам. Во-первых, из-за синхротронного излучения: двигаясь по криволинейной траектории под действием силы Лоренца, частица испытывает ускорение, что заставляет ее излучать электромагнитные волны и терять кинетическую энергию. В сильном поле этот эффект усиливается. Во-вторых, в неоднородном магнитном поле (эффект "магнитной пробки") при влете в область с большей индукцией часть продольной кинетической энергии частицы переходит в поперечную, что приводит к замедлению ее движения вдоль силовых линий поля.

4. Каким образом магнитное поле Земли предохраняет её поверхность от действия заряженных частиц высоких энергий?

Магнитное поле Земли, также известное как геомагнитное поле, образует вокруг планеты невидимую область, называемую магнитосферой. Эта магнитосфера играет роль защитного щита от потока заряженных частиц высоких энергий, в основном состоящего из протонов и электронов, который непрерывно испускает Солнце (так называемый солнечный ветер), а также от галактических космических лучей.

Механизм защиты основан на действии силы Лоренца. Когда заряженная частица (с зарядом $q$) движется со скоростью $\vec{v}$ в магнитном поле с индукцией $\vec{B}$, на нее действует сила Лоренца $\vec{F_L}$, которая определяется выражением:

$\vec{F_L} = q[\vec{v} \times \vec{B}]$

Ключевой особенностью этой силы является то, что она всегда направлена перпендикулярно как вектору скорости частицы $\vec{v}$, так и вектору магнитной индукции $\vec{B}$. Из-за этой перпендикулярности сила Лоренца не совершает работы над частицей и не изменяет ее кинетическую энергию (и, следовательно, скорость), а лишь изменяет направление ее движения, заставляя ее отклоняться от первоначальной траектории.

Когда частицы солнечного ветра подлетают к Земле, они попадают в ее магнитное поле. Сила Лоренца начинает действовать на них, заставляя их двигаться не по прямой к поверхности, а по спиральным траекториям вдоль силовых линий магнитного поля. Большинство этих частиц отклоняются и обтекают Землю, не достигая ее атмосферы и поверхности.

Часть частиц захватывается магнитным полем и образует так называемые радиационные пояса Земли (пояса Ван Аллена), где они движутся по сложным траекториям, "перемещаясь" от одного магнитного полюса к другому. Это также является частью защитного механизма, так как опасное излучение концентрируется в этих поясах на большом расстоянии от поверхности.

В районах магнитных полюсов Земли, где силовые линии входят в атмосферу почти вертикально, некоторые из захваченных частиц могут проникать в верхние слои атмосферы. Взаимодействуя с атомами и молекулами газов (в основном кислорода и азота), они вызывают их ионизацию и возбуждение, что приводит к свечению, известному как полярные сияния (северное и южное). Таким образом, полярные сияния — это видимое проявление работы защитного магнитного щита Земли.

Ответ: Магнитное поле Земли защищает ее поверхность, отклоняя поток летящих к ней заряженных частиц высоких энергий (солнечный ветер, космические лучи). Это отклонение происходит под действием силы Лоренца, которая заставляет частицы двигаться по спиральным траекториям вдоль силовых линий магнитного поля, не позволяя им достичь поверхности планеты.

5. Что такое радиационные пояса Земли? Почему электронный пояс Земли является внешним, а протонный — внутренним?

Что такое радиационные пояса Земли?

Радиационные пояса Земли, также известные как пояса Ван Аллена, представляют собой области (торы) вокруг планеты, в которых её магнитное поле захватывает и удерживает заряженные частицы высокой энергии (электроны и протоны), образуя своего рода "магнитную ловушку". Эти частицы происходят в основном из двух источников: солнечного ветра (поток заряженных частиц от Солнца) и космических лучей (высокоэнергетические частицы из дальнего космоса).

Пояса имеют сложную структуру и обычно делятся на два основных: внутренний и внешний. Внутренний пояс более стабилен, в то время как внешний сильно зависит от солнечной активности и может значительно изменять свою форму и интенсивность. Радиационные пояса представляют серьезную опасность для космонавтов и электронного оборудования космических аппаратов из-за высокого уровня проникающей радиации.

Ответ: Радиационные пояса Земли — это области в магнитосфере Земли, в которых накапливаются и удерживаются потоки высокоэнергичных заряженных частиц (в основном протонов и электронов), захваченных магнитным полем планеты.

Почему электронный пояс Земли является внешним, а протонный — внутренним?

Разделение радиационных поясов на внутренний (преимущественно протонный) и внешний (преимущественно электронный) объясняется разницей в происхождении частиц и их физическими свойствами (массой и энергией), которые определяют их взаимодействие с неоднородным магнитным полем Земли.

1. Происхождение частиц:

• Внутренний (протонный) пояс: Основным источником высокоэнергетических протонов (энергии от 10 до сотен МэВ) для этого пояса является так называемый механизм CRAND (Cosmic Ray Albedo Neutron Decay — распад альбедных нейтронов космических лучей). Космические лучи, вторгаясь в верхние слои атмосферы Земли, взаимодействуют с ядрами атомов воздуха и выбивают из них нейтроны. Часть этих нейтронов летит вверх (это и есть альбедные нейтроны). Поскольку нейтроны не имеют заряда, они свободно пересекают силовые линии магнитного поля. Однако нейтрон — частица нестабильная и со временем распадается на протон, электрон и антинейтрино. Если этот распад происходит внутри магнитосферы, то рожденный протон оказывается захваченным магнитным полем. Этот процесс наиболее эффективен на высотах от сотен до нескольких тысяч километров, что и формирует внутренний пояс.

• Внешний (электронный) пояс: Частицы для этого пояса, в основном электроны с энергиями до нескольких МэВ, поставляются солнечным ветром. Во время геомагнитных бурь и суббурь частицы из хвоста магнитосферы инжектируются в её внутренние области и ускоряются. Этот процесс происходит на больших расстояниях от Земли, формируя внешний пояс.

2. Взаимодействие с магнитным полем:

Магнитное поле Земли действует как "магнитное зеркало", удерживая частицы. Способность поля удержать частицу зависит от её энергии и массы. Протоны значительно массивнее электронов ($m_p \approx 1836 \cdot m_e$). Для удержания более тяжелых и высокоэнергетических протонов требуется более сильное магнитное поле. Магнитное поле Земли ослабевает с расстоянием, поэтому сильное поле вблизи Земли эффективно удерживает протоны, формируя внутренний пояс. Более легкие электроны могут быть удержаны и более слабым полем на больших высотах, что и приводит к формированию внешнего электронного пояса. Кроме того, внешний пояс очень динамичен: его размеры, плотность частиц и их энергия сильно меняются в зависимости от активности Солнца, что также связано с его источником — солнечным ветром.

Ответ: Разделение поясов на протонный (внутренний) и электронный (внешний) обусловлено различными источниками происхождения частиц и их взаимодействием с магнитным полем Земли. Внутренний пояс состоит из протонов, рождающихся в результате распада нейтронов, которые, в свою очередь, образуются при столкновении космических лучей с атмосферой Земли. Этот процесс происходит ближе к Земле, и сильное магнитное поле в этой области способно удержать тяжелые протоны. Внешний пояс состоит в основном из электронов, захваченных из солнечного ветра. Будучи значительно легче протонов, они удерживаются более слабым магнитным полем на больших расстояниях от планеты.