Номер 2, страница 62 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

Вопросы. § 18. Пространственные траектории заряженных частиц в магнитном поле. Глава 2. Магнитное поле - номер 2, страница 62.

2. Почему в неоднородном магнитном поле изменяется радиус винтовой линии, по которой движется заряженная частица?

Движение заряженной частицы в магнитном поле описывается силой Лоренца, которая всегда перпендикулярна как вектору скорости частицы $\vec{v}$, так и вектору магнитной индукции $\vec{B}$.

1. Движение в однородном магнитном поле

Для начала рассмотрим движение частицы в однородном магнитном поле, где вектор $\vec{B}$ постоянен по модулю и направлению во всех точках пространства. Если частица влетает в такое поле под некоторым углом к линиям индукции, ее скорость можно разложить на две составляющие:

• $v_\|$ — составляющая скорости, параллельная вектору $\vec{B}$. На эту составляющую сила Лоренца не действует ($F = qv_\|B\sin(0^\circ) = 0$), поэтому частица движется равномерно и прямолинейно вдоль поля.
• $v_\perp$ — составляющая скорости, перпендикулярная вектору $\vec{B}$. На эту составляющую действует сила Лоренца $F_L = q v_\perp B$, которая всегда перпендикулярна $v_\perp$. Эта сила является центростремительной и заставляет частицу двигаться по окружности.

Радиус этой окружности определяется из равенства силы Лоренца и центростремительной силы:

$q v_\perp B = m \frac{v_\perp^2}{R}$

Отсюда радиус траектории (называемый также ларморовским радиусом) равен:

$R = \frac{m v_\perp}{q B}$

где $m$ — масса частицы, $q$ — её заряд. В однородном поле величины $m, q, v_\perp$ и $B$ постоянны, поэтому и радиус $R$ остается постоянным. Сочетание равномерного движения вдоль поля и вращения по окружности в перпендикулярной плоскости дает траекторию в виде винтовой линии с постоянным радиусом и шагом.

2. Движение в неоднородном магнитном поле

В неоднородном магнитном поле индукция $B$ изменяется от точки к точке. Когда заряженная частица перемещается в таком поле, она попадает в области с разной величиной магнитной индукции.

Из формулы для радиуса $R = \frac{m v_\perp}{q B}$ видно, что радиус винтовой линии обратно пропорционален модулю магнитной индукции $B$. Поскольку масса $m$ и заряд $q$ частицы остаются неизменными, изменение $B$ напрямую влияет на радиус $R$.

• Когда частица движется в область с более сильным магнитным полем (индукция $B$ увеличивается), знаменатель в формуле растет, и, как следствие, радиус винтовой линии $R$ уменьшается. Траектория частицы "закручивается" плотнее.
• Когда частица движется в область с более слабым магнитным полем (индукция $B$ уменьшается), радиус винтовой линии $R$ увеличивается.

Стоит отметить, что в неоднородном поле изменяется не только индукция $B$, но и перпендикулярная составляющая скорости $v_\perp$. При движении в область более сильного поля $v_\perp$ увеличивается (за счет уменьшения $v_\|$, так как полная кинетическая энергия частицы сохраняется). Однако увеличение индукции $B$ оказывает более сильное влияние на радиус, чем увеличение $v_\perp$, поэтому общим результатом все равно является сжатие винтовой линии.

Ответ: Радиус винтовой линии, по которой движется заряженная частица, изменяется в неоднородном магнитном поле потому, что этот радиус обратно пропорционален величине индукции магнитного поля ($R \propto 1/B$). При перемещении частицы по траектории она проходит через области с разной индукцией $B$, что и приводит к непрерывному изменению радиуса ее вращения.