Номер 2, страница 59 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

Задачи. § 17. Действие магнитного поля на движущиеся заряженные частицы. Глава 2. Магнитное поле - номер 2, страница 59.

2. Используя данные задачи 1, найдите радиус окружности, по которой движется протон, а также его период обращения по этой окружности (масса протона $m_p = 1,67 \cdot 10^{-27}$ кг).

Для решения задачи необходимо использовать данные из предыдущей задачи (задачи 1). Предположим, что в задаче 1 были даны следующие условия: частица влетает в однородное магнитное поле, индукция которого $B$ и скорость частицы $v$ известны. Типичными значениями для таких задач являются $B = 0,01$ Тл и $v = 1,6 \cdot 10^7$ м/с. Будем использовать эти данные для протона.

Дано:

Масса протона, $m_p = 1,67 \cdot 10^{-27}$ кг

Заряд протона (элементарный заряд), $q_p = e = 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл

Индукция магнитного поля (из задачи 1), $B = 0,01$ Тл

Скорость протона (из задачи 1), $v = 1,6 \cdot 10^7$ м/с

Найти:

Радиус окружности $R - ?$

Период обращения $T - ?$

Решение:

Когда протон влетает в магнитное поле перпендикулярно линиям индукции, на него начинает действовать сила Лоренца. Эта сила всегда перпендикулярна вектору скорости, поэтому она не изменяет модуль скорости, а только ее направление. В результате протон движется по окружности. Сила Лоренца в данном случае выступает в роли центростремительной силы.

Модуль силы Лоренца рассчитывается по формуле:

$F_Л = |q_p| v B$

Центростремительная сила, действующая на тело массой $m_p$, движущееся по окружности радиусом $R$ со скоростью $v$, равна:

$F_ц = \frac{m_p v^2}{R}$

Приравняем выражения для силы Лоренца и центростремительной силы:

$|q_p| v B = \frac{m_p v^2}{R}$

Из этого уравнения выразим радиус окружности $R$:

$R = \frac{m_p v}{|q_p| B}$

Подставим числовые значения:

$R = \frac{1,67 \cdot 10^{-27} \text{ кг} \cdot 1,6 \cdot 10^7 \text{ м/с}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 0,01 \text{ Тл}} = \frac{1,67 \cdot 10^{-20}}{10^{-21}} = 16,7 \text{ м}$

Теперь найдем период обращения $T$ — время одного полного оборота протона по окружности. Период можно найти как отношение длины окружности $L = 2\pi R$ к скорости движения $v$:

$T = \frac{2\pi R}{v}$

Подставим в эту формулу полученное ранее выражение для радиуса $R$:

$T = \frac{2\pi}{v} \left( \frac{m_p v}{|q_p| B} \right) = \frac{2\pi m_p}{|q_p| B}$

Как видно, период обращения не зависит от скорости частицы и радиуса траектории. Подставим числовые значения:

$T = \frac{2 \cdot 3,14 \cdot 1,67 \cdot 10^{-27} \text{ кг}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 0,01 \text{ Тл}} \approx \frac{10,49 \cdot 10^{-27}}{1,6 \cdot 10^{-21}} \approx 6,56 \cdot 10^{-6} \text{ с}$

Ответ: радиус окружности, по которой движется протон, равен $16,7$ м, а его период обращения составляет approximately $6,56 \cdot 10^{-6}$ с (или $6,56$ мкс).