Номер 3, страница 59 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

Задачи. § 17. Действие магнитного поля на движущиеся заряженные частицы. Глава 2. Магнитное поле - номер 3, страница 59.

3. Покоящаяся сначала $\alpha$-частица ($m_{\alpha} = 6,68 \cdot 10^{-27}$ кг, $q = +2e$), пройдя ускоряющую разность потенциалов $U = 1$ кВ, влетает в однородное магнитное поле. Диаметр окружности, по которой начинает вращаться $\alpha$-частица, равен $D = 6,4$ см. Найдите модуль индукции магнитного поля.

Дано:

масса α-частицы $m_{\alpha} = 6,68 \cdot 10^{-27}$ кг

заряд α-частицы $q = +2e$

ускоряющая разность потенциалов $U = 1$ кВ

диаметр окружности $D = 6,4$ см

элементарный заряд $e \approx 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл

начальная скорость $v_0 = 0$ м/с

Перевод в систему СИ:

$U = 1 \cdot 10^3 \text{ В} = 1000 \text{ В}$

$D = 6,4 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0,064 \text{ м}$

$q = 2 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} = 3,2 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Найти:

модуль индукции магнитного поля $B$

Решение:

1. Сначала найдем скорость α-частицы после прохождения ускоряющей разности потенциалов. Согласно теореме о кинетической энергии, работа электрического поля равна изменению кинетической энергии частицы. Так как начальная скорость равна нулю, то работа поля полностью переходит в кинетическую энергию:

$A = \Delta E_k$

$qU = \frac{m_{\alpha}v^2}{2}$

Отсюда выразим скорость $v$, с которой частица влетает в магнитное поле:

$v = \sqrt{\frac{2qU}{m_{\alpha}}}$

2. При попадании в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции на частицу начинает действовать сила Лоренца $F_Л$. Эта сила является центростремительной и заставляет частицу двигаться по окружности.

$F_Л = qvB$

Второй закон Ньютона для движения по окружности:

$F_ц = \frac{m_{\alpha}v^2}{R}$

где $R$ - радиус окружности. Приравниваем силу Лоренца и центростремительную силу:

$qvB = \frac{m_{\alpha}v^2}{R}$

Выразим из этого уравнения индукцию магнитного поля $B$:

$B = \frac{m_{\alpha}v}{qR}$

3. Подставим выражение для скорости $v$ в формулу для индукции $B$. Радиус окружности $R$ связан с диаметром $D$ соотношением $R = D/2$.

$B = \frac{m_{\alpha}}{qR} \sqrt{\frac{2qU}{m_{\alpha}}} = \frac{m_{\alpha}}{q(D/2)} \sqrt{\frac{2qU}{m_{\alpha}}} = \frac{2m_{\alpha}}{qD} \sqrt{\frac{2qU}{m_{\alpha}}}$

Упростим выражение, внеся множитель перед корнем под знак корня:

$B = \frac{2}{D} \sqrt{\frac{m_{\alpha}^2}{q^2} \cdot \frac{2qU}{m_{\alpha}}} = \frac{2}{D} \sqrt{\frac{2m_{\alpha}U}{q}}$

4. Подставим числовые значения в итоговую формулу:

$B = \frac{2}{0,064} \sqrt{\frac{2 \cdot 6,68 \cdot 10^{-27} \text{ кг} \cdot 1000 \text{ В}}{3,2 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}}}$

$B = 31,25 \cdot \sqrt{\frac{13,36 \cdot 10^{-24}}{3,2 \cdot 10^{-19}}} \text{ Тл} = 31,25 \cdot \sqrt{4,175 \cdot 10^{-5}} \text{ Тл}$

$B \approx 31,25 \cdot 6,46 \cdot 10^{-3} \text{ Тл} \approx 0,201875 \text{ Тл}$

Округляя до трех значащих цифр, получаем:

$B \approx 0,202 \text{ Тл}$

Ответ: модуль индукции магнитного поля равен приблизительно $0,202$ Тл.