Страница 66 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

3. Как определяется направление вектора площади контура?

Вектор площади контура, который также называют вектором нормали и обозначают как $\vec{S}$, — это вектор, обладающий следующими характеристиками:

1. Его модуль (длина) равен площади $S$ плоской поверхности, ограниченной данным контуром: $|\vec{S}| = S$.

2. Его направление перпендикулярно (нормально) к плоскости, в которой лежит контур.

Поскольку к любой плоскости можно провести два противоположно направленных перпендикуляра, для однозначного определения направления вектора площади его связывают с направлением обхода контура. Эта связь устанавливается при помощи правила правого винта (или правила буравчика), которое также известно как правило правой руки.

Формулировка правила: если четыре согнутых пальца правой руки направить по выбранному положительному направлению обхода контура (например, по направлению электрического тока в витке), то отогнутый на 90° большой палец укажет направление вектора площади $\vec{S}$.

Альтернативная формулировка (правило правого винта): если вращать рукоятку винта с правой резьбой в направлении обхода контура, то направление поступательного движения острия винта совпадет с направлением вектора площади $\vec{S}$.

Таким образом, выбор направления вектора площади не является произвольным, а однозначно определяется выбором положительного направления обхода контура. Эта конвенция крайне важна в физике, особенно при расчете потоков векторных полей, например, магнитного потока через контур.

Ответ: Направление вектора площади контура определяется по правилу правой руки (или эквивалентному ему правилу правого винта). Если согнуть пальцы правой руки в направлении обхода контура, то отставленный большой палец покажет направление вектора площади. Вектор площади всегда перпендикулярен плоскости контура.

4. В каких единицах измеряется магнитный поток?

Магнитный поток, часто обозначаемый греческой буквой $\Phi$, является физической величиной, которая характеризует количество силовых линий магнитного поля, проходящих через определенную площадь.

В Международной системе единиц (СИ) единицей измерения магнитного потока является вебер (русское обозначение: Вб; международное: Wb). Эта единица названа в честь немецкого физика Вильгельма Эдуарда Вебера.

Один вебер — это магнитный поток, который при его убывании до нуля в контуре с сопротивлением 1 Ом вызывает прохождение через поперечное сечение проводника заряда в 1 кулон. Также 1 Вб можно определить через другие единицы СИ. Магнитный поток через плоскую поверхность площадью $S$ в однородном магнитном поле с индукцией $B$ определяется формулой:

$\Phi = B \cdot S \cdot \cos(\alpha)$

где $\alpha$ — угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью к поверхности $\vec{n}$.

Исходя из этой формулы, так как индукция магнитного поля $B$ измеряется в теслах (Тл), а площадь $S$ — в квадратных метрах ($\text{м}^2$), вебер можно выразить следующим образом:

$1 \text{ Вб} = 1 \text{ Тл} \cdot \text{м}^2$

Кроме того, согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции ($\mathcal{E}$), возникающая в замкнутом контуре, равна скорости изменения магнитного потока через этот контур, взятой с обратным знаком:

$\mathcal{E} = - \frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$

Поскольку ЭДС измеряется в вольтах (В), а время — в секундах (с), то вебер можно также выразить как вольт-секунду:

$1 \text{ Вб} = 1 \text{ В} \cdot \text{с}$

В системе СГС (сантиметр-грамм-секунда) для измерения магнитного потока используется единица максвелл (Мкс), при этом $1 \text{ Вб} = 10^8 \text{ Мкс}$.

Ответ: Магнитный поток в системе СИ измеряется в веберах (Вб).

5. В каком случае магнитный поток равен 1 Вб?

Магнитный поток (или поток вектора магнитной индукции) $\Phi$ через некоторую поверхность — это физическая величина, равная произведению модуля вектора магнитной индукции $B$ на площадь $S$ этой поверхности и на косинус угла $\alpha$ между вектором магнитной индукции и нормалью (перпендикуляром) к поверхности.

Формула для расчета магнитного потока через плоскую поверхность в однородном магнитном поле выглядит так:

$\Phi = B \cdot S \cdot \cos(\alpha)$

где:

• $B$ — модуль вектора магнитной индукции, измеряется в Теслах (Тл).
• $S$ — площадь поверхности, измеряется в квадратных метрах (м²).
• $\alpha$ — угол между направлением линий магнитной индукции и нормалью к поверхности.

Единицей измерения магнитного потока в Международной системе единиц (СИ) является Вебер (Вб). 1 Вебер определяется как магнитный поток, создаваемый магнитным полем с индукцией в 1 Тесла через поверхность площадью 1 квадратный метр, расположенную перпендикулярно вектору магнитной индукции.

Рассмотрим этот определяющий случай подробнее:

1. Поверхность расположена перпендикулярно вектору магнитной индукции. Это означает, что нормаль к поверхности параллельна вектору $\vec{B}$, следовательно, угол $\alpha$ между ними равен $0^\circ$.
2. Косинус этого угла $\cos(0^\circ) = 1$.
3. В этом случае формула упрощается до $\Phi = B \cdot S$.

Чтобы получить магнитный поток, равный 1 Вб, необходимо, чтобы произведение $B \cdot S$ было равно 1. Самый простой и наглядный пример — это когда:

$B = 1 \text{ Тл}$

$S = 1 \text{ м²}$

Тогда $\Phi = 1 \text{ Тл} \cdot 1 \text{ м²} = 1 \text{ Вб}$.

Также стоит упомянуть, что существует бесконечное множество других комбинаций $B$, $S$ и $\alpha$, при которых магнитный поток будет равен 1 Вб. Например, если поле с индукцией $B = 2 \text{ Тл}$ пронизывает поверхность площадью $S = 1 \text{ м²}$ под углом $\alpha = 60^\circ$ к нормали, то поток также будет равен $1 \text{ Вб}$, так как $\cos(60^\circ) = 0.5$, и $\Phi = 2 \text{ Тл} \cdot 1 \text{ м²} \cdot 0.5 = 1 \text{ Вб}$.

Ответ: Магнитный поток равен 1 Вб, когда однородное магнитное поле с индукцией 1 Тл пронизывает перпендикулярно ему расположенную плоскую поверхность площадью 1 м².

З А Д А Ч И

1. Индукция однородного магнитного поля $B = 0,1$ Тл направлена по оси $\text{Y}$. Найдите магнитный поток сквозь четверть круга радиусом $R = 10$ см, расположенную в плоскости $\text{XZ}$ (рис. 61, а); под углом $60^\circ$ к плоскости $\text{XZ}$ (рис. 61, б).

Дано:

$B = 0,1$ Тл

$R = 10$ см

$\gamma = 60^\circ$ (угол поворота плоскости в пункте б)

Перевод в систему СИ:

$R = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$

Найти:

$Ф_а$ — магнитный поток в случае а)

$Ф_б$ — магнитный поток в случае б)

Решение:

Магнитный поток $Ф$ через плоскую поверхность площадью $S$, помещенную в однородное магнитное поле с индукцией $B$, определяется по формуле:

$Ф = B \cdot S \cdot \cos(\alpha)$

где $\alpha$ — угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и вектором нормали $\vec{n}$ к поверхности.

Площадь четверти круга радиусом $R$ равна:

$S = \frac{1}{4} \pi R^2$

Подставим числовые значения:

$S = \frac{1}{4} \pi (0,1 \text{ м})^2 = \frac{1}{4} \pi \cdot 0,01 \text{ м}^2 = 0,0025 \pi \text{ м}^2 \approx 0,00785 \text{ м}^2$

а) Четверть круга расположена в плоскости XZ. Вектор нормали $\vec{n}$ к этой плоскости перпендикулярен ей, то есть направлен вдоль оси Y. Вектор магнитной индукции $\vec{B}$ по условию также направлен вдоль оси Y. Следовательно, векторы $\vec{B}$ и $\vec{n}$ сонаправлены, и угол $\alpha$ между ними равен $0^\circ$.

$\cos(\alpha) = \cos(0^\circ) = 1$

Магнитный поток в этом случае равен:

$Ф_а = B \cdot S \cdot \cos(0^\circ) = B \cdot S$

$Ф_а = 0,1 \text{ Тл} \cdot 0,0025 \pi \text{ м}^2 = 0,00025 \pi \text{ Вб} \approx 7,85 \cdot 10^{-4} \text{ Вб}$

Ответ: $Ф_а \approx 7,85 \cdot 10^{-4}$ Вб.

б) Четверть круга расположена под углом $60^\circ$ к плоскости XZ. Это означает, что угол между плоскостью четверти круга и плоскостью XZ равен $60^\circ$. Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости четверти круга будет отклонен от своего первоначального положения (оси Y) на тот же угол. Таким образом, угол $\alpha$ между вектором нормали $\vec{n}$ и вектором магнитной индукции $\vec{B}$ (который по-прежнему направлен вдоль оси Y) составляет $60^\circ$.

$\alpha = 60^\circ$

$\cos(\alpha) = \cos(60^\circ) = 0,5$

Магнитный поток в этом случае равен:

$Ф_б = B \cdot S \cdot \cos(60^\circ)$

$Ф_б = (0,1 \text{ Тл} \cdot 0,0025 \pi \text{ м}^2) \cdot 0,5 = 0,000125 \pi \text{ Вб} \approx 3,93 \cdot 10^{-4} \text{ Вб}$

Ответ: $Ф_б \approx 3,93 \cdot 10^{-4}$ Вб.

2. Квадратная рамка со стороной $a = 10$ см вдвигается со скоростью $v = 3$ см/с в однородное магнитное поле с индукцией $B = 10^{-2}$ Тл, направленной перпендикулярно плоскости рамки (рис. 62). Найдите магнитный поток сквозь рамку в момент времени $t = 2$ с.

Дано:

Сторона рамки, $a = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Скорость рамки, $v = 3 \text{ см/с} = 0.03 \text{ м/с}$

Индукция магнитного поля, $B = 10^{-2} \text{ Тл}$

Время, $t = 2 \text{ с}$

Найти:

Магнитный поток, $\Phi$ - ?

Решение:

Магнитный поток $\Phi$ через плоский контур, находящийся в однородном магнитном поле, определяется по формуле:

$\Phi = B \cdot S \cdot \cos(\alpha)$

где $B$ — индукция магнитного поля, $S$ — площадь части рамки, находящейся в магнитном поле, а $\alpha$ — угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью (перпендикуляром) к плоскости рамки.

По условию задачи и согласно рисунку 62, вектор магнитной индукции $\vec{B}$ направлен перпендикулярно плоскости рамки. Это означает, что угол $\alpha$ между вектором $\vec{B}$ и нормалью к плоскости рамки равен $0^\circ$. Косинус этого угла $\cos(0^\circ) = 1$. Таким образом, формула для магнитного потока упрощается:

$\Phi = B \cdot S$

Рамка начинает вдвигаться в магнитное поле в момент времени $t=0$ с постоянной скоростью $v$. За время $t$ рамка сместится на расстояние $x$ вглубь поля:

$x = v \cdot t$

Подставим числовые значения, чтобы найти это расстояние для момента времени $t = 2 \text{ с}$:

$x = 0.03 \text{ м/с} \cdot 2 \text{ с} = 0.06 \text{ м}$

Сторона квадратной рамки $a = 0.1 \text{ м}$. Сравним расстояние, на которое рамка вошла в поле, с ее стороной: $x = 0.06 \text{ м} < a = 0.1 \text{ м}$. Это значит, что рамка еще не полностью вошла в магнитное поле.

Площадь $S$, пронизываемая магнитным полем, — это площадь части рамки, находящейся внутри поля. Эта часть представляет собой прямоугольник со сторонами $a$ и $x$.

$S = a \cdot x$

Вычислим эту площадь:

$S = 0.1 \text{ м} \cdot 0.06 \text{ м} = 0.006 \text{ м}^2$

Теперь мы можем рассчитать искомый магнитный поток $\Phi$ через рамку в момент времени $t = 2 \text{ с}$:

$\Phi = B \cdot S = 10^{-2} \text{ Тл} \cdot 0.006 \text{ м}^2 = 0.00006 \text{ Вб}$

Представим результат в стандартном виде (научной нотации):

$\Phi = 6 \cdot 10^{-5} \text{ Вб}$

Ответ: магнитный поток сквозь рамку в момент времени $t=2 \text{ с}$ равен $6 \cdot 10^{-5} \text{ Вб}$.

3. Проволочное кольцо радиусом $R$, находящееся в плоскости чертежа, поворачивается на 180° относительно вертикальной оси (рис. 63). Индукция магнитного поля $\vec{B}$ перпендикулярна плоскости чертежа. Найдите изменение магнитного потока сквозь кольцо в результате его поворота.

Дано:

Радиус кольца: $R$

Индукция магнитного поля: $B$

Угол поворота: $180^\circ$

Начальное положение: вектор индукции $\vec{B}$ перпендикулярен плоскости кольца.

Найти:

Изменение магнитного потока: $\Delta \Phi$

Решение:

Магнитный поток $\Phi$ через плоский контур определяется формулой:

$\Phi = B \cdot S \cdot \cos \alpha$

где $B$ – модуль вектора магнитной индукции, $S$ – площадь контура, а $\alpha$ – угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и вектором нормали (перпендикуляром) $\vec{n}$ к плоскости контура.

Площадь кольца радиусом $R$ равна:

$S = \pi R^2$

1. Начальное состояние (до поворота).

Вектор магнитной индукции $\vec{B}$ перпендикулярен плоскости кольца. Выберем направление нормали $\vec{n}$ к плоскости кольца так, чтобы оно совпадало с направлением вектора $\vec{B}$. В этом случае угол между ними $\alpha_1 = 0^\circ$.

Тогда начальный магнитный поток $\Phi_1$ равен:

$\Phi_1 = B \cdot S \cdot \cos(0^\circ) = B \cdot S \cdot 1 = B S = B \pi R^2$

2. Конечное состояние (после поворота).

Кольцо поворачивается на $180^\circ$ относительно вертикальной оси. Вместе с кольцом поворачивается и вектор нормали $\vec{n}$. После поворота на $180^\circ$ вектор нормали будет направлен в сторону, противоположную его начальному направлению.

Теперь угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и новым направлением нормали $\vec{n'}$ составляет $\alpha_2 = 180^\circ$.

Конечный магнитный поток $\Phi_2$ равен:

$\Phi_2 = B \cdot S \cdot \cos(180^\circ) = B \cdot S \cdot (-1) = -B S = -B \pi R^2$

3. Изменение магнитного потока.

Изменение магнитного потока $\Delta \Phi$ равно разности между конечным и начальным потоками:

$\Delta \Phi = \Phi_2 - \Phi_1 = (-B \pi R^2) - (B \pi R^2) = -2 B \pi R^2$

Знак минус указывает, что поток уменьшился (в алгебраическом смысле). Модуль изменения потока равен $2 B \pi R^2$. Если бы мы изначально выбрали направление нормали противоположно вектору $\vec{B}$, то начальный поток был бы отрицательным, конечный — положительным, а изменение потока получилось бы $\Delta \Phi = 2 B \pi R^2$. Оба ответа корректны и отличаются только знаком, который зависит от выбора направления нормали.

Ответ: $\Delta \Phi = -2 \pi R^2 B$ (или $2 \pi R^2 B$ в зависимости от выбора направления нормали).