Номер 5, страница 69 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

Вопросы. § 21. Энергия магнитного поля тока. Глава 2. Магнитное поле - номер 5, страница 69.

5. Какая энергия накапливается в контуре индуктивностью $L$ при силе тока в нём $I$?

Дано:

Индуктивность контура: $L$

Сила тока в контуре: $I$

Найти:

Энергия магнитного поля контура: $W_L$

Решение:

Когда в электрическом контуре, обладающем индуктивностью $L$, протекает ток $I$, в пространстве вокруг него создается магнитное поле. Энергия, накопленная в контуре, — это и есть энергия этого магнитного поля. Чтобы найти эту энергию, рассмотрим процесс установления тока в контуре от 0 до значения $I$.

При изменении силы тока в контуре возникает явление самоиндукции. Согласно закону Фарадея, в контуре индуцируется ЭДС самоиндукции $\mathcal{E}_{si}$, которая препятствует изменению тока. Она рассчитывается по формуле:

$$ \mathcal{E}_{si} = -L \frac{di}{dt} $$

Здесь $L$ — индуктивность контура, а $i$ — мгновенное значение силы тока. Знак "минус" отражает правило Ленца.

Чтобы увеличить ток в контуре, внешний источник питания должен совершить работу против этой ЭДС самоиндукции. Эта работа не рассеивается в виде тепла (если считать активное сопротивление контура равным нулю), а запасается в виде энергии магнитного поля.

Мгновенная мощность $P$, которую развивает источник для преодоления ЭДС самоиндукции, равна произведению тока $i$ на модуль ЭДС:

$$ P = -i \mathcal{E}_{si} = -i \left(-L \frac{di}{dt}\right) = L i \frac{di}{dt} $$

Элементарная работа $dW_L$, совершаемая источником за бесконечно малый промежуток времени $dt$, равна $dW_L = P dt$. Подставив выражение для мощности, получим:

$$ dW_L = \left(L i \frac{di}{dt}\right) dt = L i \, di $$

Полная работа, совершенная для увеличения тока от 0 до конечного значения $I$, равна полной энергии, запасенной в магнитном поле $W_L$. Мы находим её, интегрируя выражение для $dW_L$:

$$ W_L = \int_{0}^{W_L} dW_L = \int_{0}^{I} L i \, di $$

Так как индуктивность $L$ является постоянной величиной, её можно вынести за знак интеграла:

$$ W_L = L \int_{0}^{I} i \, di = L \left[ \frac{i^2}{2} \right]_{0}^{I} = L \left( \frac{I^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = \frac{LI^2}{2} $$

Таким образом, энергия, накопленная в контуре с индуктивностью $L$ при силе тока $I$, определяется полученной формулой.

Ответ: Энергия, накапливаемая в контуре, вычисляется по формуле $W_L = \frac{LI^2}{2}$.