Номер 3, страница 204, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

3. Сколько изображений светящейся точки мы увидим в системе из двух плоских зеркал, образующих двугранный угол $60'$? Приведите графическое доказательство.

Ответ: 5.

Дано:

Система из двух плоских зеркал, образующих двугранный угол $\alpha = 60°$.

Найти:

Количество изображений светящейся точки $\text{N}$.

Решение:

Существует два способа решения этой задачи: аналитический (с помощью формулы) и графический (построением).

1. Аналитический способ

Количество изображений $\text{N}$, даваемых двумя плоскими зеркалами, расположенными под углом $\alpha$ друг к другу, можно найти по формуле. Сначала вычисляется значение $m = \frac{360°}{\alpha}$.

В нашем случае:

$m = \frac{360°}{60°} = 6$

Поскольку $m=6$ является целым четным числом, количество изображений не зависит от положения светящейся точки между зеркалами и вычисляется по формуле:

$N = m - 1$

Подставим наше значение $\text{m}$:

$N = 6 - 1 = 5$

Таким образом, мы увидим 5 изображений.

2. Графическое доказательство

Для графического доказательства используется метод построений, основанный на законах отражения. Все изображения светящейся точки, а также сама точка, будут лежать на окружности, центр которой находится в точке пересечения зеркал, а радиус равен расстоянию от точки пересечения до светящейся точки.

Представим плоскость, на которой лежат зеркала. Линии зеркал делят всю плоскость (360°) на сектора. Так как угол между зеркалами равен $60°$, то вся окружность вокруг точки их пересечения делится на $m = \frac{360°}{60°} = 6$ равных секторов.

1. Светящаяся точка (объект) $\text{S}$ находится в одном из этих секторов. Назовем его сектором 0.
2. При отражении в первом зеркале ($З_1$) свет от точки $\text{S}$ создает ее первое изображение $S_1$. Это изображение появляется в соседнем секторе (сектор 1), который является "отражением" сектора 0.
3. Аналогично, при отражении во втором зеркале ($З_2$) создается изображение $S_2$ в другом соседнем секторе (сектор 2).
4. Далее возникают изображения второго порядка. Изображение $S_1$ служит объектом для зеркала $З_2$, создавая изображение $S_{12}$ в следующем секторе (сектор 3). А изображение $S_2$ отражается в зеркале $З_1$, создавая изображение $S_{21}$ (сектор 4).
5. Этот процесс многократных отражений продолжается. Изображение $S_{12}$ отражается в зеркале $З_1$, создавая изображение $S_{121}$ (сектор 5).

В итоге мы получаем 6 секторов, заполняющих всю окружность в 360°. В одном из них находится реальный объект $\text{S}$, а в остальных пяти — его мнимые изображения ($S_1, S_2, S_{12}, S_{21}, S_{121}$). Интересно, что изображение шестого порядка $S_{212}$ совпадет по положению с $S_{121}$, поэтому мы считаем его одним изображением. Таким образом, общее число видимых изображений равно 5.

Эта система из шести секторов (один реальный и пять виртуальных) наглядно демонстрирует, почему при угле в 60° образуется именно 5 изображений.

Ответ: в системе из двух плоских зеркал, образующих угол 60°, мы увидим 5 изображений светящейся точки.