Номер 12, страница 221, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

12. Расстояние между точечным источником и экраном 3 м. Линза, помещенная между ними, дает четкое изображение предмета при двух его положениях, расстояние между которыми равно 1 м. Найдите фокусное расстояние линзы.

Ответ: 0,67 м.

Дано:

Расстояние между точечным источником и экраном $L = 3$ м.

Расстояние между двумя положениями линзы, при которых получается четкое изображение, $l = 1$ м.

Найти:

Фокусное расстояние линзы $\text{F}$.

Решение:

Для получения четкого изображения на экране должно выполняться условие формулы тонкой линзы:

$ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $

где $\text{d}$ — расстояние от источника до линзы, $\text{f}$ — расстояние от линзы до экрана, а $\text{F}$ — фокусное расстояние линзы.

Общее расстояние $\text{L}$ от источника до экрана остается неизменным и равно сумме расстояний $\text{d}$ и $\text{f}$:

$L = d + f$

По условию задачи, существует два положения линзы, при которых на экране получается четкое изображение. Обозначим расстояние от источника до линзы в первом положении как $d_1$, а во втором — как $d_2$.

Для первого положения:

$d = d_1$, $f = f_1 = L - d_1$

Для второго положения:

$d = d_2$, $f = f_2 = L - d_2$

Из-за принципа обратимости световых лучей, если пара расстояний $(d, f)$ дает четкое изображение, то и пара $(f, d)$ тоже даст четкое изображение. Это означает, что расстояния для двух положений связаны следующим образом:

$d_2 = f_1$ и $f_2 = d_1$

Подставим $f_1 = L - d_1$ в первое соотношение: $d_2 = L - d_1$, откуда следует, что $d_1 + d_2 = L$.

Расстояние $\text{l}$, на которое перемещают линзу между двумя положениями, равно разности расстояний от источника до линзы. Будем считать, что $d_1 > d_2$.

$l = d_1 - d_2$

Таким образом, мы имеем систему из двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} d_1 + d_2 = L \\ d_1 - d_2 = l \end{cases} $

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $d_1$:

$2d_1 = L + l \implies d_1 = \frac{L+l}{2}$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти $d_2$:

$2d_2 = L - l \implies d_2 = \frac{L-l}{2}$

Теперь найдем расстояние от линзы до экрана для первого положения:

$f_1 = L - d_1 = L - \frac{L+l}{2} = \frac{2L - L - l}{2} = \frac{L-l}{2}$

Подставим найденные выражения для $d_1$ и $f_1$ в формулу тонкой линзы:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{(L+l)/2} + \frac{1}{(L-l)/2} = \frac{2}{L+l} + \frac{2}{L-l}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{F} = \frac{2(L-l) + 2(L+l)}{(L+l)(L-l)} = \frac{2L - 2l + 2L + 2l}{L^2 - l^2} = \frac{4L}{L^2 - l^2}$

Отсюда выражаем искомую величину $\text{F}$:

$F = \frac{L^2 - l^2}{4L}$

Подставим в формулу числовые значения из условия задачи:

$F = \frac{3^2 - 1^2}{4 \cdot 3} = \frac{9 - 1}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ м.

Переведем в десятичную дробь и округлим до сотых:

$F \approx 0,67$ м.

Ответ: $0,67$ м.