Номер 3, страница 219, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

3. В каком случае высота изображения, полученного с помощью собирающей линзы, равна высоте предмета? Ответ поясните построением хода световых лучей в линзе.

Ответ: когда тело находится на расстоянии $2F$ от линзы.

3. Высота изображения, полученного с помощью собирающей линзы, равна высоте предмета в том случае, когда предмет находится на расстоянии, равном двойному фокусному расстоянию от линзы (в точке $2F$).

Решение:

Это утверждение можно доказать и объяснить, используя формулу тонкой линзы и геометрическое построение хода лучей.

1. Математическое доказательство

Формула тонкой линзы имеет вид:

$ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} $

где $\text{F}$ — фокусное расстояние линзы, $\text{d}$ — расстояние от предмета до линзы, $\text{f}$ — расстояние от линзы до изображения.

Линейное увеличение линзы $Γ$ показывает отношение высоты изображения $\text{H}$ к высоте предмета $\text{h}$:

$ Γ = \frac{H}{h} = \frac{f}{d} $

По условию, высота изображения равна высоте предмета, то есть $H = h$. Следовательно, линейное увеличение $Γ$ должно быть равно 1.

$ \frac{H}{h} = 1 \implies \frac{f}{d} = 1 \implies f = d $

Это означает, что для получения изображения равного размера, оно должно сформироваться на таком же расстоянии от линзы, на каком находится и сам предмет.

Теперь подставим условие $f = d$ в формулу тонкой линзы:

$ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{d} = \frac{2}{d} $

Из этого уравнения выразим расстояние до предмета $\text{d}$:

$ d = 2F $

Таким образом, математически доказано, что предмет должен находиться в точке двойного фокуса, чтобы его изображение было равно ему по величине.

2. Геометрическое построение и пояснение

Для построения изображения предмета, расположенного в точке $2F$, воспользуемся двумя стандартными лучами, исходящими из верхней точки предмета:

- Первый луч, параллельный главной оптической оси, после преломления в линзе проходит через ее задний главный фокус $\text{F}$.

- Второй луч, проходящий через оптический центр линзы $\text{O}$, не преломляется и сохраняет свое направление.

Точка, в которой эти два луча пересекутся после прохождения линзы, и будет являться вершиной изображения. При точном построении видно, что лучи пересекаются на расстоянии $2F$ от линзы с противоположной стороны.

Рассмотрим подобные треугольники. Треугольник, образованный предметом и лучом, идущим в центр линзы, подобен треугольнику, образованному изображением и тем же лучом. Отношение высот (изображения к предмету) равно отношению расстояний (от линзы до изображения к расстоянию от линзы до предмета). Поскольку мы выяснили, что $d = f = 2F$, то их отношение равно 1, а значит, и высоты равны.

Изображение, полученное в этом случае, имеет следующие характеристики:

- Действительное, так как образовано пересечением самих преломленных лучей. - Перевернутое. - Равное по размеру предмету.

Ответ: Высота изображения, полученного с помощью собирающей линзы, равна высоте предмета, когда предмет находится на расстоянии, равном двойному фокусному расстоянию ($d = 2F$) от линзы.