Номер 9, страница 22 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

*9. В идеальном колебательном контуре с частотой собственных колебаний $V_1 = 20$ кГц при замене конденсатора на другой частота стала равна $V_2 = 30$ кГц. Какой будет частота собственных колебаний контура, если соединить эти два конденсатора параллельно?

Ответ: 16,6 кГц.

Дано:

Частота с первым конденсатором $ν_1 = 20$ кГц.
Частота со вторым конденсатором $ν_2 = 30$ кГц.

Перевод в систему СИ:
$ν_1 = 20 \cdot 10^3 \text{ Гц} = 20000 \text{ Гц}$.
$ν_2 = 30 \cdot 10^3 \text{ Гц} = 30000 \text{ Гц}$.

Найти:

Частоту колебаний с параллельно соединенными конденсаторами $ν_p$.

Решение:

Частота собственных колебаний в идеальном колебательном контуре определяется формулой Томсона:
$ν = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$,
где $\text{L}$ — индуктивность катушки, а $\text{C}$ — ёмкость конденсатора.
Из этой формулы можно выразить ёмкость конденсатора:
$ν^2 = \frac{1}{4\pi^2LC}$
$C = \frac{1}{4\pi^2Lν^2}$

Для первого случая, когда в контуре используется первый конденсатор с ёмкостью $C_1$, частота равна $ν_1$:
$C_1 = \frac{1}{4\pi^2Lν_1^2}$

Для второго случая, при замене на второй конденсатор с ёмкостью $C_2$, частота равна $ν_2$:
$C_2 = \frac{1}{4\pi^2Lν_2^2}$

Когда два конденсатора соединяются параллельно, их общая ёмкость $C_p$ равна сумме их ёмкостей:
$C_p = C_1 + C_2$

Частота колебаний контура с этой новой, общей ёмкостью будет $ν_p$:
$ν_p = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_p}}$
Возведём в квадрат обе части уравнения:
$ν_p^2 = \frac{1}{4\pi^2LC_p} = \frac{1}{4\pi^2L(C_1 + C_2)}$
Выразим обратную величину квадрата частоты:
$\frac{1}{ν_p^2} = 4\pi^2L(C_1 + C_2) = 4\pi^2LC_1 + 4\pi^2LC_2$
Подставим выражения для $C_1$ и $C_2$, выраженные через частоты $ν_1$ и $ν_2$:
$\frac{1}{ν_p^2} = 4\pi^2L \cdot \frac{1}{4\pi^2Lν_1^2} + 4\pi^2L \cdot \frac{1}{4\pi^2Lν_2^2}$
Сократив $4\pi^2L$, получаем простое соотношение между частотами:
$\frac{1}{ν_p^2} = \frac{1}{ν_1^2} + \frac{1}{ν_2^2}$

Из этого соотношения найдем $ν_p$:
$\frac{1}{ν_p^2} = \frac{ν_2^2 + ν_1^2}{ν_1^2 ν_2^2}$
$ν_p^2 = \frac{ν_1^2 ν_2^2}{ν_1^2 + ν_2^2}$
$ν_p = \sqrt{\frac{ν_1^2 ν_2^2}{ν_1^2 + ν_2^2}} = \frac{ν_1 ν_2}{\sqrt{ν_1^2 + ν_2^2}}$

Подставим числовые значения. Расчет можно вести в килогерцах, так как единицы измерения в итоговой формуле сокращаются, и ответ получится в килогерцах.
$ν_p = \frac{20 \cdot 30}{\sqrt{20^2 + 30^2}} = \frac{600}{\sqrt{400 + 900}} = \frac{600}{\sqrt{1300}} = \frac{600}{10\sqrt{13}} = \frac{60}{\sqrt{13}} \text{ кГц}$.
Вычисляем значение:
$ν_p \approx \frac{60}{3.60555} \approx 16.643 \text{ кГц}$.
Округляя до десятых, получаем:
$ν_p \approx 16.6$ кГц.

Ответ: 16,6 кГц.