Номер 8, страница 22 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

8. Максимальное напряжение на обкладках конденсатора идеального колебательного контура $U_m = 30 \text{ В}$, а максимальное значение силы тока в контуре $I_m = 1,4 \text{ А}$. Определите напряжение и силу тока в контуре в тот момент, когда энергия магнитного поля катушки равна энергии электрического поля конденсатора.

Ответ: $\approx 1 \text{ А}$; $21,3 \text{ В}$.

Дано:

Максимальное напряжение на конденсаторе $U_m = 30$ В
Максимальное значение силы тока $I_m = 1.4$ А
Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Напряжение $\text{u}$ и силу тока $\text{i}$ в момент, когда энергия магнитного поля катушки равна энергии электрического поля конденсатора.

Решение:

Закон сохранения энергии для идеального колебательного контура гласит, что полная энергия контура $\text{W}$ постоянна и равна сумме энергии электрического поля конденсатора $W_C$ и энергии магнитного поля катушки $W_L$:
$W = W_C + W_L = \text{const}$
Полная энергия контура также равна максимальной энергии конденсатора или максимальной энергии катушки:
$W = W_{C_{max}} = \frac{C U_m^2}{2}$ (когда ток равен нулю)
$W = W_{L_{max}} = \frac{L I_m^2}{2}$ (когда напряжение равно нулю)
В произвольный момент времени закон сохранения энергии имеет вид:
$\frac{C u^2}{2} + \frac{L i^2}{2} = W$
По условию задачи, мы рассматриваем момент, когда энергия магнитного поля равна энергии электрического поля: $W_L = W_C$.
Подставим это условие в закон сохранения энергии:
$W = W_C + W_C = 2W_C$.
Следовательно, энергия в конденсаторе в этот момент равна половине максимальной энергии конденсатора:
$2W_C = W_{C_{max}}$
$2 \cdot \frac{C u^2}{2} = \frac{C U_m^2}{2}$
$u^2 = \frac{U_m^2}{2}$, откуда мгновенное напряжение $u = \frac{U_m}{\sqrt{2}}$.
Аналогично для силы тока, подставим $W_L = W_C$ в закон сохранения:
$W = W_L + W_L = 2W_L$.
Энергия в катушке в этот момент равна половине максимальной энергии катушки:
$2W_L = W_{L_{max}}$
$2 \cdot \frac{L i^2}{2} = \frac{L I_m^2}{2}$
$i^2 = \frac{I_m^2}{2}$, откуда мгновенная сила тока $i = \frac{I_m}{\sqrt{2}}$.
Подставим заданные числовые значения в полученные формулы:
$u = \frac{30 \text{ В}}{\sqrt{2}} \approx \frac{30 \text{ В}}{1.41} \approx 21,28 \text{ В} \approx 21,3 \text{ В}$.
$i = \frac{1.4 \text{ А}}{\sqrt{2}} \approx \frac{1.4 \text{ А}}{1.414} \approx 0,99 \text{ А} \approx 1 \text{ А}$.

Ответ: напряжение $u \approx 21,3$ В, сила тока $i \approx 1$ А.