Номер 3, страница 21 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

3. В идеальном колебательном контуре происходят электромагнитные колебания. Величину заряда, сообщенного конденсатору в начальный момент времени, увеличили в два раза. Во сколько раз изменятся:

а) амплитуда силы тока;

б) суммарная энергия электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки? Ответ обоснуйте.

Дано:

$q_{m2} = 2 \cdot q_{m1}$

где $q_{m1}$ — начальная амплитуда заряда, $q_{m2}$ — новая амплитуда заряда.

Найти:

$\frac{I_{m2}}{I_{m1}}$ — ?

$\frac{W_{2}}{W_{1}}$ — ?

Решение:

В идеальном колебательном контуре происходят незатухающие электромагнитные колебания. Заряд на конденсаторе и сила тока в катушке изменяются по гармоническому закону (при условии, что в начальный момент времени заряд максимален):

$q(t) = q_m \cos(\omega t)$

$i(t) = q'(t) = -q_m \omega \sin(\omega t)$

где $q_m$ — амплитуда заряда, а $\omega$ — циклическая частота колебаний.

Амплитуда силы тока $I_m$ (максимальное значение модуля силы тока) связана с амплитудой заряда $q_m$ соотношением:

$I_m = q_m \omega$

Циклическая частота $\omega$ определяется параметрами самого контура (индуктивностью $\text{L}$ и емкостью $\text{C}$):

$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Поскольку в задаче изменяется только начальный заряд, а параметры контура (L и C) остаются прежними, циклическая частота $\omega$ не изменяется.

а) амплитуда силы тока;

Найдем отношение новой амплитуды силы тока $I_{m2}$ к первоначальной $I_{m1}$.

Первоначальная амплитуда тока: $I_{m1} = q_{m1} \omega$

Новая амплитуда тока: $I_{m2} = q_{m2} \omega$

По условию задачи, величину заряда увеличили в два раза, то есть $q_{m2} = 2 \cdot q_{m1}$. Подставим это выражение в формулу для $I_{m2}$:

$I_{m2} = (2 \cdot q_{m1}) \omega = 2 \cdot (q_{m1} \omega) = 2 \cdot I_{m1}$

Следовательно, отношение амплитуд равно:

$\frac{I_{m2}}{I_{m1}} = 2$

Это означает, что амплитуда силы тока увеличится в 2 раза.

Ответ: Амплитуда силы тока увеличится в 2 раза.

б) суммарная энергия электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки?

Суммарная энергия электромагнитного поля в идеальном колебательном контуре (без потерь) остается постоянной во времени. Она равна максимальной энергии электрического поля конденсатора или максимальной энергии магнитного поля катушки.

$W = W_E + W_B = \text{const}$

В начальный момент времени (когда конденсатор полностью заряжен), ток в контуре равен нулю, и вся энергия системы сосредоточена в электрическом поле конденсатора. Эта энергия и является полной энергией контура:

$W = W_{E,max} = \frac{q_m^2}{2C}$

Найдем отношение новой полной энергии $W_2$ к первоначальной $W_1$.

Первоначальная энергия: $W_1 = \frac{q_{m1}^2}{2C}$

Новая энергия: $W_2 = \frac{q_{m2}^2}{2C}$

Подставим $q_{m2} = 2 \cdot q_{m1}$ в формулу для $W_2$:

$W_2 = \frac{(2 \cdot q_{m1})^2}{2C} = \frac{4 \cdot q_{m1}^2}{2C} = 4 \cdot \left(\frac{q_{m1}^2}{2C}\right) = 4 \cdot W_1$

Следовательно, отношение энергий равно:

$\frac{W_2}{W_1} = 4$

Это означает, что суммарная энергия контура увеличится в 4 раза.

Ответ: Суммарная энергия электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки увеличится в 4 раза.