Практические задания, страница 20 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

По указанию учителя разделитесь на группы по 4—5 человек. Вместе составьте три задачи на тему "Свободные электромагнитные колебания в идеальном колебательном контуре", обсудите условия составленных задач, их корректность и возможные пути решения. Поменяйтесь задачами с другой группой, решите их. Оцените эти задачи. Затем вынесите ваше решение на обсуждение (устно или письменно по указанию учителя).

Поскольку предоставленный текст является заданием для групповой работы, а не конкретным вопросом или задачей, я выполню это задание, смоделировав работу одной из групп. Мы составим три задачи на указанную тему, обсудим их и представим подробные решения.

Задача 1

Обсуждение задачи: Эта задача является базовой для проверки понимания формулы Томсона и ее связи с параметрами колебательного контура. Условие корректно, так как указаны все необходимые величины и задан четкий вопрос. Путь решения очевиден: использовать формулу для частоты колебаний и подставить в нее крайние значения емкости, чтобы найти соответствующий диапазон частот. Задача оценивается как хорошая для начала изучения темы.

Дано:

Индуктивность катушки: $L = 10$ мГн
Минимальная емкость конденсатора: $C_1 = 100$ пФ
Максимальная емкость конденсатора: $C_2 = 400$ пФ

Перевод в систему СИ:

$L = 10 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} = 10^{-2} \text{ Гн}$
$C_1 = 100 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} = 10^{-10} \text{ Ф}$
$C_2 = 400 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} = 4 \cdot 10^{-10} \text{ Ф}$

Найти:

Диапазон частот $\nu$ свободных электромагнитных колебаний.

Решение:

Частота свободных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре определяется формулой Томсона для частоты:

$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

Из формулы видно, что частота $\nu$ обратно пропорциональна квадратному корню из емкости $\text{C}$. Следовательно, максимальной частоте $\nu_{max}$ будет соответствовать минимальная емкость $C_1$, а минимальной частоте $\nu_{min}$ — максимальная емкость $C_2$.

Найдем максимальную частоту $\nu_{max}$:

$\nu_{max} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-2} \text{ Гн} \cdot 10^{-10} \text{ Ф}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-12} \text{ с}^2}} = \frac{1}{2\pi \cdot 10^{-6} \text{ с}} \approx \frac{10^6}{6.28} \text{ Гц} \approx 159235 \text{ Гц} \approx 159 \text{ кГц}$.

Найдем минимальную частоту $\nu_{min}$:

$\nu_{min} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_2}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-2} \text{ Гн} \cdot 4 \cdot 10^{-10} \text{ Ф}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{4 \cdot 10^{-12} \text{ с}^2}} = \frac{1}{2\pi \cdot 2 \cdot 10^{-6} \text{ с}} = \frac{1}{4\pi \cdot 10^{-6} \text{ с}} \approx \frac{10^6}{12.56} \text{ Гц} \approx 79617 \text{ Гц} \approx 79.6 \text{ кГц}$.

Таким образом, диапазон частот составляет от $\nu_{min}$ до $\nu_{max}$.

Ответ: Диапазон частот свободных колебаний в контуре составляет примерно от 79.6 кГц до 159 кГц.

Задача 2

Обсуждение задачи: Эта задача связывает кинематические характеристики колебаний (амплитуды тока и заряда) с динамическими параметрами контура (индуктивностью и емкостью). Она требует применения закона сохранения энергии или соотношения между амплитудами. Условие корректно, что позволяет найти решение несколькими способами, что является хорошим методическим приемом. Например, можно найти $\omega$ из соотношения $I_m = q_m \omega$, а затем, зная $\text{L}$, найти $\text{C}$ и $\text{T}$. Либо можно приравнять максимальные энергии конденсатора и катушки. Задача оценивается как более сложная, чем первая, и хороша для закрепления связи между различными аспектами колебаний.

Дано:

Амплитуда тока: $I_m = 5$ мА
Амплитуда заряда: $q_m = 50$ нКл
Индуктивность катушки: $L = 0.5$ Гн

Перевод в систему СИ:

$I_m = 5 \cdot 10^{-3} \text{ А}$
$q_m = 50 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} = 5 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}$
$L = 0.5 \text{ Гн}$

Найти:

Емкость конденсатора $\text{C}$, период колебаний $\text{T}$.

Решение:

В идеальном колебательном контуре полная энергия сохраняется. Максимальная энергия электрического поля конденсатора равна максимальной энергии магнитного поля катушки:
$W_{C,max} = W_{L,max}$

$\frac{q_m^2}{2C} = \frac{LI_m^2}{2}$
Из этого равенства можно выразить емкость $\text{C}$:

$C = \frac{q_m^2}{L I_m^2} = \frac{(5 \cdot 10^{-8} \text{ Кл})^2}{0.5 \text{ Гн} \cdot (5 \cdot 10^{-3} \text{ А})^2} = \frac{25 \cdot 10^{-16} \text{ Кл}^2}{0.5 \text{ Гн} \cdot 25 \cdot 10^{-6} \text{ А}^2} = \frac{10^{-16}}{0.5 \cdot 10^{-6}} \text{ Ф} = 2 \cdot 10^{-10} \text{ Ф} = 200 \text{ пФ}$.

Период свободных электромагнитных колебаний найдем по формуле Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC} = 2\pi\sqrt{0.5 \text{ Гн} \cdot 2 \cdot 10^{-10} \text{ Ф}} = 2\pi\sqrt{1 \cdot 10^{-10} \text{ с}^2} = 2\pi \cdot 10^{-5} \text{ с} \approx 6.28 \cdot 10^{-5} \text{ с} = 62.8 \text{ мкс}$.

Альтернативный путь решения:

Амплитуда тока $I_m$ связана с амплитудой заряда $q_m$ и циклической частотой $\omega$ соотношением $I_m = \omega q_m$. Отсюда найдем циклическую частоту:

$\omega = \frac{I_m}{q_m} = \frac{5 \cdot 10^{-3} \text{ А}}{5 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}} = 10^5 \text{ рад/с}$.

Циклическая частота также связана с параметрами контура: $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$. Возведем в квадрат: $\omega^2 = \frac{1}{LC}$.

Отсюда выразим емкость $\text{C}$:

$C = \frac{1}{L\omega^2} = \frac{1}{0.5 \text{ Гн} \cdot (10^5 \text{ рад/с})^2} = \frac{1}{0.5 \cdot 10^{10}} \text{ Ф} = 2 \cdot 10^{-10} \text{ Ф} = 200 \text{ пФ}$.

Период колебаний связан с циклической частотой как $T = \frac{2\pi}{\omega}$:

$T = \frac{2\pi}{10^5 \text{ рад/с}} = 2\pi \cdot 10^{-5} \text{ с} \approx 62.8 \text{ мкс}$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: Емкость конденсатора $C = 200$ пФ, период колебаний $T \approx 62.8$ мкс.

Задача 3

Обсуждение задачи: Эта задача требует не только знания основных формул, но и умения применять уравнения, описывающие изменение заряда и тока со временем. Ключевым является правильный выбор начальной фазы колебаний. Условие корректно и представляет собой классическую задачу на динамику колебаний. Путь решения включает определение амплитудных и частотных характеристик контура, составление уравнений $q(t)$ и $i(t)$ и подстановку в них заданного момента времени. Задача оценивается как наиболее сложная из трех, требующая комплексного понимания темы.

Дано:

Емкость конденсатора: $C = 2$ мкФ
Индуктивность катушки: $L = 0.5$ Гн
Начальное (максимальное) напряжение на конденсаторе: $U_m = 5$ В
Момент времени: $t = T/6$

Перевод в систему СИ:

$C = 2 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$
$L = 0.5 \text{ Гн}$
$U_m = 5 \text{ В}$

Найти:

Заряд на конденсаторе $q(t)$ и ток в катушке $i(t)$ в момент времени $t = T/6$.

Решение:

Колебания в контуре являются гармоническими. Заряд на конденсаторе изменяется по закону:

$q(t) = q_m \cos(\omega t + \phi_0)$

Ток в контуре является производной от заряда по времени:

$i(t) = q'(t) = -q_m \omega \sin(\omega t + \phi_0) = -I_m \sin(\omega t + \phi_0)$

По условию, в начальный момент времени ($t=0$) конденсатор полностью заряжен, значит, заряд на нем максимален ($q(0) = q_m$), а ток равен нулю ($i(0) = 0$).

Из уравнения для заряда при $t=0$: $q_m = q_m \cos(\phi_0)$, откуда $\cos(\phi_0) = 1$, следовательно, начальная фаза $\phi_0 = 0$.

Таким образом, уравнения колебаний для нашего случая принимают вид:

$q(t) = q_m \cos(\omega t)$

$i(t) = -I_m \sin(\omega t)$

Найдем амплитуду заряда $q_m$:

$q_m = C \cdot U_m = 2 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} \cdot 5 \text{ В} = 10^{-5} \text{ Кл}$.

Найдем циклическую частоту $\omega$:

$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{0.5 \text{ Гн} \cdot 2 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}}} = \frac{1}{\sqrt{10^{-6} \text{ с}^2}} = 10^3 \text{ рад/с}$.

Найдем амплитуду тока $I_m$:

$I_m = q_m \omega = 10^{-5} \text{ Кл} \cdot 10^3 \text{ рад/с} = 10^{-2} \text{ А} = 0.01 \text{ А}$.

Теперь найдем значения заряда и тока в момент времени $t = T/6$. Связь между циклической частотой и периодом $T = 2\pi/\omega$.

Аргумент тригонометрических функций $\omega t$ в этот момент времени будет равен:

$\omega t = \omega \cdot \frac{T}{6} = \omega \cdot \frac{2\pi}{6\omega} = \frac{\pi}{3}$.

Подставим это значение в уравнения для $q(t)$ и $i(t)$:

$q(T/6) = q_m \cos(\frac{\pi}{3}) = 10^{-5} \text{ Кл} \cdot \frac{1}{2} = 0.5 \cdot 10^{-5} \text{ Кл} = 5 \text{ мкКл}$.

$i(T/6) = -I_m \sin(\frac{\pi}{3}) = -0.01 \text{ А} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.01 \text{ А} \cdot 0.866 \approx -0.00866 \text{ А} = -8.66 \text{ мА}$.

Знак "минус" у тока означает, что в данный момент времени он течет в направлении, противоположном первоначально выбранному положительному направлению (направлению разрядки конденсатора).

Ответ: В момент времени $t=T/6$ заряд на конденсаторе будет $q = 5$ мкКл, а ток в катушке $i \approx -8.66$ мА.