Номер 3, страница 115 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

3. Определите, на какое расстояние можно передать электроэнергию мощностью 100 кВт по медным проводам площадью поперечного сечения 25 $ \text{мм}^2 $ при эффективном напряжении 20 кВ, при этом потери не должны превышать 10 % ($ \cos \varphi = 0,8 $).

Дано:

Мощность, передаваемая потребителю, $P = 100 \text{ кВт}$
Площадь поперечного сечения провода, $S = 25 \text{ мм}^2$
Эффективное напряжение, $U = 20 \text{ кВ}$
Допустимые потери мощности, $\eta = 10\%$
Коэффициент мощности, $\cos \varphi = 0.8$
Удельное сопротивление меди, $\rho = 1.7 \times 10^{-8} \text{ } \Omega \cdot \text{м}$ (справочное значение)

Перевод в систему СИ:
$P = 100 \times 10^3 \text{ Вт} = 10^5 \text{ Вт}$
$S = 25 \times 10^{-6} \text{ м}^2$
$U = 20 \times 10^3 \text{ В} = 2 \times 10^4 \text{ В}$
$\eta = 0.1$

Найти:

Расстояние передачи электроэнергии, $L$.

Решение:

1. Определим максимально допустимую мощность потерь $\Delta P$. Потери не должны превышать 10% от передаваемой мощности $P$.

$\Delta P = \eta \cdot P = 0.1 \cdot 10^5 \text{ Вт} = 10^4 \text{ Вт}$

2. Найдем силу тока $I$ в линии электропередачи. Активная мощность $P$ связана с напряжением $U$, силой тока $I$ и коэффициентом мощности $\cos \varphi$ соотношением:

$P = U \cdot I \cdot \cos \varphi$

Отсюда выразим силу тока:

$I = \frac{P}{U \cdot \cos \varphi} = \frac{10^5 \text{ Вт}}{2 \times 10^4 \text{ В} \cdot 0.8} = \frac{10}{1.6} = 6.25 \text{ А}$

3. Мощность потерь в проводах определяется по закону Джоуля-Ленца:

$\Delta P = I^2 \cdot R$

где $R$ — сопротивление двух проводов линии электропередачи. Выразим это сопротивление:

$R = \frac{\Delta P}{I^2} = \frac{10^4 \text{ Вт}}{(6.25 \text{ А})^2} = \frac{10000}{39.0625} = 256 \text{ Ом}$

4. Сопротивление проводов также можно выразить через их геометрические размеры и удельное сопротивление материала. Линия электропередачи состоит из двух проводов, поэтому общая длина проводов $l$ в два раза больше расстояния $L$, на которое передается энергия: $l = 2L$.

$R = \rho \frac{l}{S} = \rho \frac{2L}{S}$

5. Из последней формулы выразим искомое расстояние $L$:

$L = \frac{R \cdot S}{2 \cdot \rho}$

Подставим значения, полученные на предыдущих шагах:

$L = \frac{256 \text{ Ом} \cdot 25 \times 10^{-6} \text{ м}^2}{2 \cdot 1.7 \times 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}} = \frac{6400 \times 10^{-6}}{3.4 \times 10^{-8}} \text{ м} \approx 188235 \text{ м}$

Переведем результат в километры, округлив до целого числа:

$L \approx 188 \text{ км}$

Ответ: электроэнергию можно передать на расстояние примерно 188 км.