Номер 4, страница 115 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

4. По двухпроводной линии передается мощность 80 кВт. Сопротивление каждой линии $5.5 \cdot 10^{-2}$ Ом. На сколько можно снизить потери мощности, если в начале линии повысить напряжение в 10 раз, а в конце понизить в 10 раз с помощью трансформаторов, КПД которых 99 %? Вырабатываемое и потребляемое напряжение равно 120 В.

Дано:

Передаваемая мощность: $P = 80 \text{ кВт}$
Сопротивление каждого провода: $r = 5,5 \cdot 10^{-2} \text{ Ом}$
Вырабатываемое напряжение: $U = 120 \text{ В}$
Коэффициент трансформации: $k = 10$
КПД трансформаторов: $\eta = 99 \%$

$P = 80 \cdot 10^3 \text{ Вт}$
$r = 0,055 \text{ Ом}$
$\eta = 0,99$

Найти:

$\Delta P_{потерь}$

Решение:

Для решения задачи необходимо сравнить общие потери мощности в двух случаях: при передаче электроэнергии напрямую и при использовании повышающего и понижающего трансформаторов. Будем считать, что указанная мощность $P = 80 \text{ кВт}$ — это мощность, отдаваемая генератором в систему (в линию или на первый трансформатор).

Сперва рассчитаем общее сопротивление двухпроводной линии передачи. Поскольку линия состоит из двух проводов, их общее сопротивление равно удвоенному сопротивлению одного провода:

$R_{линии} = 2 \cdot r = 2 \cdot 0,055 \text{ Ом} = 0,11 \text{ Ом}$

1. Расчет потерь мощности при передаче без трансформаторов.

В этом случае мощность от генератора передается напрямую в линию при напряжении $U_1 = 120 \text{ В}$.

Сила тока в линии находится из формулы мощности $P = U_1 I_1$:

$I_1 = \frac{P}{U_1} = \frac{80000 \text{ Вт}}{120 \text{ В}} = \frac{2000}{3} \text{ А} \approx 666,7 \text{ А}$

Потери мощности в проводах (тепловые потери) рассчитываются по закону Джоуля-Ленца:

$P_{потерь1} = I_1^2 R_{линии} = (\frac{2000}{3} \text{ А})^2 \cdot 0,11 \text{ Ом} \approx 444444,4 \cdot 0,11 \text{ Вт} \approx 48889 \text{ Вт}$

В этом сценарии общие потери мощности равны потерям в линии, так как другие элементы отсутствуют.

2. Расчет потерь мощности при передаче с трансформаторами.

Теперь мощность $P = 80 \text{ кВт}$ от генератора сначала подается на повышающий трансформатор, затем передается по линии и в конце поступает на понижающий трансформатор.

а) Потери в повышающем трансформаторе. Они составляют $1-\eta$ от подводимой к нему мощности:

$P_{п.тр1} = P \cdot (1 - \eta) = 80000 \text{ Вт} \cdot (1 - 0,99) = 800 \text{ Вт}$

б) Мощность, поступающая в линию, и потери в ней. Мощность на выходе первого трансформатора:

$P_{линии} = P \cdot \eta = 80000 \text{ Вт} \cdot 0,99 = 79200 \text{ Вт}$

Напряжение в линии повышается в $k=10$ раз:

$U_2 = U \cdot k = 120 \text{ В} \cdot 10 = 1200 \text{ В}$

Ток в линии при высоком напряжении:

$I_2 = \frac{P_{линии}}{U_2} = \frac{79200 \text{ Вт}}{1200 \text{ В}} = 66 \text{ А}$

Потери мощности в линии теперь значительно меньше:

$P_{п.линии} = I_2^2 R_{линии} = (66 \text{ А})^2 \cdot 0,11 \text{ Ом} = 4356 \cdot 0,11 \text{ Вт} = 479,16 \text{ Вт}$

в) Потери в понижающем трансформаторе. Сначала найдем мощность, которая дошла до него по линии:

$P'_{линии} = P_{линии} - P_{п.линии} = 79200 \text{ Вт} - 479,16 \text{ Вт} = 78720,84 \text{ Вт}$

Потери во втором трансформаторе:

$P_{п.тр2} = P'_{линии} \cdot (1 - \eta) = 78720,84 \text{ Вт} \cdot 0,01 \approx 787,21 \text{ Вт}$

г) Суммарные потери во втором случае. Складываем все потери:

$P_{потерь2} = P_{п.тр1} + P_{п.линии} + P_{п.тр2} = 800 \text{ Вт} + 479,16 \text{ Вт} + 787,21 \text{ Вт} = 2066,37 \text{ Вт}$

3. Определение снижения потерь.

Найдем разницу между потерями мощности в первом и втором случаях:

$\Delta P_{потерь} = P_{потерь1} - P_{потерь2} = 48889 \text{ Вт} - 2066,37 \text{ Вт} = 46822,63 \text{ Вт}$

Переведем результат в киловатты, округлив до десятых:

$\Delta P_{потерь} \approx 46,8 \text{ кВт}$

Ответ: потери мощности можно снизить на 46,8 кВт.