Номер 1, страница 309 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения

1. Радиус ядра атома с атомной массой А приблизительно равен $r \approx 1,3 \cdot 10^{-15} A^{1/3}$ м. Чему равно отношение радиусов ядер изотопа углерода $_{6}^{15}\text{C}$ и изотопа азота $_{7}^{15}\text{N}$?

1. Дано:
Эмпирическая формула для радиуса ядра: $r \approx 1.3 \cdot 10^{-15} \cdot A^{1/3}$ м
Изотоп углерода: $^{15}_6C$
Изотоп азота: $^{15}_7N$
Массовое число ядра углерода-15: $A_C = 15$
Массовое число ядра азота-15: $A_N = 15$

Найти:
Отношение радиусов ядер $\frac{r_C}{r_N}$.

Решение:
Радиус атомного ядра $r$ зависит от его массового числа $A$ (общего числа протонов и нейтронов) и может быть вычислен по эмпирической формуле: $r = r_0 A^{1/3}$ где $r_0$ — константа, примерно равная $1.3 \cdot 10^{-15}$ м.

Для ядра изотопа углерода $^{15}_6C$ массовое число $A_C = 15$. Его радиус $r_C$ можно выразить как: $r_C = r_0 (A_C)^{1/3} = r_0 (15)^{1/3}$

Для ядра изотопа азота $^{15}_7N$ массовое число $A_N = 15$. Его радиус $r_N$ можно выразить как: $r_N = r_0 (A_N)^{1/3} = r_0 (15)^{1/3}$

Теперь найдем отношение радиуса ядра углерода-15 к радиусу ядра азота-15: $\frac{r_C}{r_N} = \frac{r_0 (A_C)^{1/3}}{r_0 (A_N)^{1/3}}$

Константа $r_0$ сокращается, и мы получаем: $\frac{r_C}{r_N} = \frac{(A_C)^{1/3}}{(A_N)^{1/3}} = \left(\frac{A_C}{A_N}\right)^{1/3}$

Подставим известные значения массовых чисел $A_C = 15$ и $A_N = 15$: $\frac{r_C}{r_N} = \left(\frac{15}{15}\right)^{1/3} = (1)^{1/3} = 1$

Таким образом, отношение радиусов ядер данных изотопов равно единице. Это связано с тем, что радиус ядра определяется в первую очередь общим числом нуклонов (массовым числом), а у $^{15}C$ и $^{15}N$ оно одинаково. Такие ядра, имеющие одинаковое массовое число, но разный заряд, называются изобарами.

Ответ: отношение радиусов ядер равно 1.