Страница 309 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения

1. Радиус ядра атома с атомной массой А приблизительно равен $r \approx 1,3 \cdot 10^{-15} A^{1/3}$ м. Чему равно отношение радиусов ядер изотопа углерода $_{6}^{15}\text{C}$ и изотопа азота $_{7}^{15}\text{N}$?

1. Дано:
Эмпирическая формула для радиуса ядра: $r \approx 1.3 \cdot 10^{-15} \cdot A^{1/3}$ м
Изотоп углерода: $^{15}_6C$
Изотоп азота: $^{15}_7N$
Массовое число ядра углерода-15: $A_C = 15$
Массовое число ядра азота-15: $A_N = 15$

Найти:
Отношение радиусов ядер $\frac{r_C}{r_N}$.

Решение:
Радиус атомного ядра $r$ зависит от его массового числа $A$ (общего числа протонов и нейтронов) и может быть вычислен по эмпирической формуле: $r = r_0 A^{1/3}$ где $r_0$ — константа, примерно равная $1.3 \cdot 10^{-15}$ м.

Для ядра изотопа углерода $^{15}_6C$ массовое число $A_C = 15$. Его радиус $r_C$ можно выразить как: $r_C = r_0 (A_C)^{1/3} = r_0 (15)^{1/3}$

Для ядра изотопа азота $^{15}_7N$ массовое число $A_N = 15$. Его радиус $r_N$ можно выразить как: $r_N = r_0 (A_N)^{1/3} = r_0 (15)^{1/3}$

Теперь найдем отношение радиуса ядра углерода-15 к радиусу ядра азота-15: $\frac{r_C}{r_N} = \frac{r_0 (A_C)^{1/3}}{r_0 (A_N)^{1/3}}$

Константа $r_0$ сокращается, и мы получаем: $\frac{r_C}{r_N} = \frac{(A_C)^{1/3}}{(A_N)^{1/3}} = \left(\frac{A_C}{A_N}\right)^{1/3}$

Подставим известные значения массовых чисел $A_C = 15$ и $A_N = 15$: $\frac{r_C}{r_N} = \left(\frac{15}{15}\right)^{1/3} = (1)^{1/3} = 1$

Таким образом, отношение радиусов ядер данных изотопов равно единице. Это связано с тем, что радиус ядра определяется в первую очередь общим числом нуклонов (массовым числом), а у $^{15}C$ и $^{15}N$ оно одинаково. Такие ядра, имеющие одинаковое массовое число, но разный заряд, называются изобарами.

Ответ: отношение радиусов ядер равно 1.

2. По графику зависимости удельной энергии связи от массового числа (см. рис. 12.1) определите энергию связи ядра с массовым числом 100.

Дано:

Массовое число ядра: $A = 100$

Найти:

Энергию связи ядра: $E_{св}$

Решение:

Полная энергия связи ядра ($E_{св}$) — это энергия, которая необходима для полного расщепления ядра на составляющие его нуклоны (протоны и нейтроны). Удельная энергия связи ($\epsilon$) — это энергия связи, приходящаяся на один нуклон.

Эти две величины связаны с массовым числом $A$ (общим числом нуклонов в ядре) следующей формулой:
$E_{св} = \epsilon \cdot A$

Для определения энергии связи ядра с массовым числом $A=100$, необходимо сначала найти удельную энергию связи $\epsilon$ для этого ядра, используя предоставленный график зависимости $\epsilon$ от $A$. Так как сам график (рис. 12.1) не приложен, мы воспользуемся стандартным графиком этой зависимости, который приводится в учебниках физики.

На стандартном графике находим на горизонтальной оси (ось массовых чисел) значение $A=100$. От этой точки восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с кривой. От точки пересечения проводим горизонтальную линию к вертикальной оси (ось удельной энергии связи) и считываем соответствующее значение.

Для массового числа $A=100$ удельная энергия связи составляет приблизительно:
$\epsilon \approx 8,6$ МэВ/нуклон.

Теперь, зная удельную энергию связи, мы можем рассчитать полную энергию связи ядра, умножив это значение на массовое число:
$E_{св} \approx 8,6 \, \text{МэВ/нуклон} \cdot 100 = 860 \, \text{МэВ}$.

Ответ: $E_{св} \approx 860$ МэВ.

3. Пользуясь периодической системой элементов Д. И. Менделеева, определите число протонов и число нейтронов в ядрах атомов фтора, аргона, брома, цезия и золота.

Дано:

Химические элементы: фтор (F), аргон (Ar), бром (Br), цезий (Cs), золото (Au).
Требуется использовать периодическую систему элементов Д. И. Менделеева.

Найти:

Число протонов ($N_p$) и число нейтронов ($N_n$) в ядрах атомов каждого элемента.

Решение:

Для определения состава ядра атома воспользуемся данными из периодической системы химических элементов.

1. Число протонов ($N_p$) в ядре численно равно порядковому номеру элемента (Z) в таблице Менделеева. Этот номер также называется зарядовым числом ядра.
$N_p = Z$

2. Число нейтронов ($N_n$) находится как разность между массовым числом (A) и числом протонов (Z). Массовое число (A) — это общее число нуклонов (протонов и нейтронов) в ядре. Для нахождения массового числа наиболее распространенного или стабильного изотопа, мы округляем относительную атомную массу элемента, указанную в таблице, до ближайшего целого значения.
$N_n = A - Z$

Проведем расчеты для каждого элемента.

Фтор (F)

Порядковый номер фтора $Z = 9$.
Относительная атомная масса $A_r \approx 18.998$. Округляем до целого, получаем массовое число $A = 19$.
Число протонов: $N_p = Z = 9$.
Число нейтронов: $N_n = A - Z = 19 - 9 = 10$.

Ответ: В ядре атома фтора 9 протонов и 10 нейтронов.

Аргон (Ar)

Порядковый номер аргона $Z = 18$.
Относительная атомная масса $A_r \approx 39.948$. Округляем до целого, получаем массовое число $A = 40$.
Число протонов: $N_p = Z = 18$.
Число нейтронов: $N_n = A - Z = 40 - 18 = 22$.

Ответ: В ядре атома аргона 18 протонов и 22 нейтрона.

Бром (Br)

Порядковый номер брома $Z = 35$.
Относительная атомная масса $A_r \approx 79.904$. Округляем до целого, получаем массовое число $A = 80$.
Число протонов: $N_p = Z = 35$.
Число нейтронов: $N_n = A - Z = 80 - 35 = 45$.

Ответ: В ядре атома брома 35 протонов и 45 нейтронов.

Цезий (Cs)

Порядковый номер цезия $Z = 55$.
Относительная атомная масса $A_r \approx 132.905$. Округляем до целого, получаем массовое число $A = 133$.
Число протонов: $N_p = Z = 55$.
Число нейтронов: $N_n = A - Z = 133 - 55 = 78$.

Ответ: В ядре атома цезия 55 протонов и 78 нейтронов.

Золото (Au)

Порядковый номер золота $Z = 79$.
Относительная атомная масса $A_r \approx 196.967$. Округляем до целого, получаем массовое число $A = 197$.
Число протонов: $N_p = Z = 79$.
Число нейтронов: $N_n = A - Z = 197 - 79 = 118$.

Ответ: В ядре атома золота 79 протонов и 118 нейтронов.

4. Чему равна энергия связи ядра тяжёлого водорода — дейтрона? Атомная масса ядра дейтрона $m_D = 2,01355$ а. е. м., протона $m_p = 1,007276$ а. е. м., нейтрона $m_n = 1,008665$ а. е. м.

4. Дано:
Атомная масса ядра дейтрона $m_D = 2,01355$ а. е. м.
Масса протона $m_p = 1,007276$ а. е. м.
Масса нейтрона $m_n = 1,008665$ а. е. м.

Найти:
Энергию связи ядра дейтрона $E_{связи}$.

Решение:

Энергия связи ядра — это энергия, которая выделяется при образовании ядра из отдельных нуклонов (протонов и нейтронов). Она равна работе, которую необходимо совершить, чтобы разделить ядро на составляющие его нуклоны. Энергия связи определяется дефектом масс $\Delta m$ согласно соотношению Эйнштейна:

$E_{связи} = \Delta m \cdot c^2$

Дефект масс — это разность между суммой масс свободных нуклонов, из которых состоит ядро, и массой самого ядра. Ядро дейтрона (изотоп водорода $^2_1H$) состоит из одного протона ($Z=1$) и одного нейтрона ($N=A-Z=2-1=1$).

1. Найдем суммарную массу нуклонов (одного протона и одного нейтрона):
$m_p + m_n = 1,007276 \text{ а. е. м.} + 1,008665 \text{ а. е. м.} = 2,015941 \text{ а. е. м.}$

2. Вычислим дефект масс $\Delta m$:
$\Delta m = (m_p + m_n) - m_D$
$\Delta m = 2,015941 \text{ а. е. м.} - 2,01355 \text{ а. е. м.} = 0,002391 \text{ а. е. м.}$

3. Рассчитаем энергию связи. Для удобства расчетов в ядерной физике используют энергетический эквивалент атомной единицы массы: $1 \text{ а. е. м.}$ соответствует энергии $931,5 \text{ МэВ}$ (мегаэлектронвольт).
$E_{связи} = \Delta m \times 931,5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а. е. м.}}$
$E_{связи} = 0,002391 \times 931,5 \text{ МэВ} \approx 2,2270365 \text{ МэВ}$

Округляя результат до тысячных, получаем:

$E_{связи} \approx 2,227 \text{ МэВ}$

Ответ: энергия связи ядра дейтрона равна приблизительно $2,227 \text{ МэВ}$.

контрона $m_n$ 1,008665 а. е. м.

5. Вычислите дефект масс ядра атома кислорода $_{8}^{18}O$. Масса атома кислорода 17,9992 а. е. м.

5. Дано:
Атом кислорода: $_{8}^{18}O$
Масса атома кислорода: $m_{атом} = 17,9992$ а. е. м.
Масса атома водорода (протия): $m_H \approx 1,00783$ а. е. м.
Масса нейтрона: $m_n \approx 1,00866$ а. е. м.

Найти:
Дефект масс ядра $\Delta m$.

Решение:
Дефект масс ядра – это разность между суммарной массой всех нуклонов (протонов и нейтронов), составляющих ядро, и действительной массой этого ядра. Дефект масс можно вычислить по формуле: $ \Delta m = (Z \cdot m_p + N \cdot m_n) - m_{ядра} $
где $Z$ — число протонов в ядре, $N$ — число нейтронов, $m_p$ — масса протона, $m_n$ — масса нейтрона, а $m_{ядра}$ — масса ядра.

Поскольку в задаче дана масса всего атома ($m_{атом}$), а не только ядра, удобнее использовать формулу, в которой для учёта массы электронов используется масса атома водорода ($m_H$): $ \Delta m = (Z \cdot m_H + N \cdot m_n) - m_{атом} $

1. Определим состав ядра атома кислорода $_{8}^{18}O$:

• Число протонов (зарядовое число) $Z=8$.
• Массовое число $A=18$.
• Число нейтронов $N = A - Z = 18 - 8 = 10$.

2. Рассчитаем суммарную массу нуклонов (в виде атомов водорода и нейтронов):
$ Z \cdot m_H + N \cdot m_n = 8 \cdot 1,00783 \text{ а. е. м.} + 10 \cdot 1,00866 \text{ а. е. м.} $
$ 8 \cdot 1,00783 = 8,06264 \text{ а. е. м.} $
$ 10 \cdot 1,00866 = 10,0866 \text{ а. е. м.} $
Суммарная масса: $8,06264 + 10,0866 = 18,14924 \text{ а. е. м.}$

3. Теперь вычислим дефект масс, вычитая массу атома кислорода из суммарной массы его составляющих:
$ \Delta m = 18,14924 \text{ а. е. м.} - 17,9992 \text{ а. е. м.} = 0,15004 \text{ а. е. м.} $

Ответ: дефект масс ядра атома кислорода $_{8}^{18}O$ составляет $0,15004$ а. е. м.

6. Вычислите энергию связи $_3^6\text{Li}$. Масса атома лития 6,015123 а. е. м.

Дано:

Изотоп лития: $ _{3}^{6}\text{Li} $

Масса атома лития: $ m_a = 6.015123 \text{ а. е. м.} $

Масса атома водорода: $ m_H \approx 1.007825 \text{ а. е. м.} $

Масса нейтрона: $ m_n \approx 1.008665 \text{ а. е. м.} $

Энергетический эквивалент 1 а. е. м.: $ E_{а.е.м.} = 931.5 \text{ МэВ/а.е.м.} $

В систему СИ переводить не требуется, так как расчеты удобнее проводить в атомных единицах массы и мегаэлектронвольтах.

Найти:

Энергию связи ядра $ E_{св} $.

Решение:

Энергия связи ядра — это энергия, которая выделяется при образовании ядра из составляющих его нуклонов (протонов и нейтронов). Она равна работе, которую необходимо совершить, чтобы разделить ядро на отдельные нуклоны. Энергию связи можно вычислить на основе дефекта масс по формуле Эйнштейна:

$ E_{св} = \Delta m \cdot c^2 $

где $ \Delta m $ — дефект массы, а $ c $ — скорость света в вакууме.

Дефект массы — это разность между суммой масс всех нуклонов, составляющих ядро, и реальной массой ядра.

1. Определим состав ядра лития $ _{3}^{6}\text{Li} $.

Зарядовое число (число протонов) $ Z = 3 $.

Массовое число (общее число нуклонов) $ A = 6 $.

Число нейтронов $ N = A - Z = 6 - 3 = 3 $.

Таким образом, ядро атома лития-6 состоит из 3 протонов и 3 нейтронов.

2. Вычислим дефект массы $ \Delta m $. В задаче дана масса целого атома лития, которая включает в себя массу ядра и массу 3 электронов. Чтобы учесть массу электронов и упростить расчеты, удобнее использовать массу атома водорода $ m_H $ (состоящего из одного протона и одного электрона) вместо массы отдельного протона.

Суммарная масса составляющих частиц (3 атомов водорода и 3 нейтронов) равна:

$ m_{сост} = Z \cdot m_H + N \cdot m_n $

$ m_{сост} = 3 \cdot 1.007825 \text{ а. е. м.} + 3 \cdot 1.008665 \text{ а. е. м.} $

$ m_{сост} = 3.023475 \text{ а. е. м.} + 3.025995 \text{ а. е. м.} = 6.049470 \text{ а. е. м.} $

Теперь найдем дефект массы как разницу между суммарной массой составляющих и массой атома лития $ m_a $:

$ \Delta m = m_{сост} - m_a $

$ \Delta m = 6.049470 \text{ а. е. м.} - 6.015123 \text{ а. е. м.} = 0.034347 \text{ а. е. м.} $

3. Вычислим энергию связи. Для удобства воспользуемся энергетическим эквивалентом атомной единицы массы: $ 1 \text{ а. е. м.} \cdot c^2 \approx 931.5 \text{ МэВ} $.

$ E_{св} = \Delta m \cdot 931.5 \text{ МэВ/а.е.м.} $

$ E_{св} = 0.034347 \cdot 931.5 \text{ МэВ} \approx 32.0007855 \text{ МэВ} $

Округлим результат до сотых.

$ E_{св} \approx 32.00 \text{ МэВ} $

Ответ: энергия связи ядра лития-6 равна приблизительно $ 32.00 \text{ МэВ} $.

1. Чему равна энергия покоя $\alpha$-частицы? Масса ядра гелия равна $4,00260 \text{ а. е. м.}$

1) $4,0026 \text{ МэВ}/c^2$

2) $3728,42 \text{ МэВ}/c^2$

3) $4,447 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

4) $6,64 \cdot 10^{-26} \text{ кг}$

1. Дано:
Масса $\alpha$-частицы (ядра гелия), $m_\alpha = 4,00260$ а. е. м. (атомных единиц массы).

Найти:
Энергию покоя $\alpha$-частицы, $E_0$.

Решение:
Энергия покоя частицы $E_0$ связана с её массой покоя $m_0$ соотношением Эйнштейна: $E_0 = m_0 c^2$ где $c$ — скорость света в вакууме.

В ядерной физике для удобства расчетов часто используют энергетический эквивалент атомной единицы массы, который составляет приблизительно $931,5$ МэВ. Это позволяет напрямую переводить массу в а. е. м. в энергию в МэВ (мегаэлектронвольтах).

Вычислим энергию покоя $\alpha$-частицы:

$E_0 = m_\alpha \cdot c^2 = (4,00260 \text{ а. е. м.}) \cdot c^2$

Используя энергетический эквивалент:

$E_0 = 4,00260 \cdot 931,5 \text{ МэВ} \approx 3728,42$ МэВ

Теперь проанализируем предложенные варианты ответов:

1) $4,0026 \text{ МэВ}/c^2$ — неверно. Это просто численное значение массы в а. е. м. с некорректно указанными единицами.

2) $3728,42 \text{ МэВ}/c^2$ — это значение соответствует массе покоя $\alpha$-частицы, выраженной в единицах МэВ/$c^2$. Энергия покоя такой частицы будет численно равна $3728,42$ МэВ. Несмотря на то, что в варианте ответа указаны единицы массы ($E_0/c^2$), а не энергии ($E_0$), численное значение совпадает с нашим расчетом. В контексте подобных задач это наиболее вероятный правильный ответ.

3) $4,447 \cdot 10^{-19}$ Дж — неверно. Проверим, переведя нашу энергию из МэВ в Джоули (СИ):
$1 \text{ МэВ} \approx 1,602 \cdot 10^{-13}$ Дж
$E_0 = 3728,42 \text{ МэВ} \cdot (1,602 \cdot 10^{-13} \text{ Дж/МэВ}) \approx 5,97 \cdot 10^{-10}$ Дж. Полученное значение значительно отличается от предложенного в этом варианте.

4) $6,64 \cdot 10^{-26}$ кг — неверно. Это значение массы. Ранее мы вычислили массу в системе СИ:
$m_\alpha \approx 6,6465 \cdot 10^{-27}$ кг. Предложенный вариант отличается на порядок (в 10 раз).

Таким образом, единственный вариант, содержащий верное численное значение, — это вариант 2.

Ответ: 2) 3728,42 МэВ/с²

2. Энергия покоя протона 938,3 МэВ, нейтрона 939,6 МэВ, ядра неона $_{10}^{20}\text{Ne}$ 18617,7 МэВ. Энергия связи ядра неона $_{10}^{20}\text{Ne}$ составляет примерно

1) 25,0 пДж 2) 25,4 пДж 3) 25,8 пДж 4) 26,2 пДж

Дано:

Найти:

Энергию связи ядра неона $E_{св}$ в пДж.

Решение:

Энергия связи ядра – это энергия, которая выделяется при образовании ядра из составляющих его нуклонов (протонов и нейтронов). Она равна разности между суммарной энергией покоя всех нуклонов, входящих в состав ядра, и энергией покоя самого ядра.

Формула для расчета энергии связи:

$E_{св} = (Z \cdot E_p + N \cdot E_n) - E_{я}$

где $Z$ – число протонов в ядре, $N$ – число нейтронов, $E_p$ – энергия покоя протона, $E_n$ – энергия покоя нейтрона, $E_{я}$ – энергия покоя ядра.

Для ядра неона ${}^{20}_{10}\text{Ne}$ имеем:

Число протонов $Z = 10$.

Массовое число $A = 20$.

Число нейтронов $N = A - Z = 20 - 10 = 10$.

Сначала рассчитаем суммарную энергию покоя нуклонов, из которых состоит ядро неона:

$Z \cdot E_p + N \cdot E_n = 10 \cdot 938,3 \text{ МэВ} + 10 \cdot 939,6 \text{ МэВ}$

$Z \cdot E_p + N \cdot E_n = 9383 \text{ МэВ} + 9396 \text{ МэВ} = 18779 \text{ МэВ}$

Теперь найдем энергию связи, вычтя из этой суммы энергию покоя ядра неона:

$E_{св} = 18779 \text{ МэВ} - 18617,7 \text{ МэВ} = 161,3 \text{ МэВ}$

Получили энергию связи в мегаэлектронвольтах. Теперь необходимо перевести это значение в пикоджоули (пДж), как требуется в вариантах ответа.

Сначала переведем МэВ в Джоули (Дж), основную единицу энергии в системе СИ:

$E_{св} = 161,3 \cdot 1,6 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} = 258,08 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$

Далее переведем Джоули в пикоджоули (пДж), зная, что $1 \text{ пДж} = 10^{-12} \text{ Дж}$:

$E_{св} = \frac{258,08 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}}{10^{-12} \text{ Дж/пДж}} = 25,808 \text{ пДж}$

Полученное значение примерно равно $25,8$ пДж. Это соответствует варианту ответа 3.

Ответ: 25,8 пДж.

3. Полные энергии связи нуклонов в ядрах хрома Cr, ванадия V и скандия Sc равны соответственно 52,79; 49,93 и 44,50 МэВ. Из какого ядра труднее выбить нейтрон?

1) все ядра одинаково устойчивы

2) из ядра $_{24}^{57}Cr$

3) из ядра $_{23}^{54}V$

4) из ядра $_{21}^{48}Sc$

Дано:

Ядро хрома $_{24}^{57}\text{Cr}$ с полной энергией связи $E_{b, Cr} = 52,79 \text{ МэВ}$

Ядро ванадия $_{23}^{54}\text{V}$ с полной энергией связи $E_{b, V} = 49,93 \text{ МэВ}$

Ядро скандия $_{21}^{48}\text{Sc}$ с полной энергией связи $E_{b, Sc} = 44,50 \text{ МэВ}$

Найти:

Из какого ядра труднее выбить нейтрон?

Решение:

Трудность отрыва нуклона (в данном случае нейтрона) от ядра определяется энергией, которую необходимо для этого затратить. Эта энергия напрямую связана с прочностью ядра. Мерой прочности (устойчивости) атомного ядра служит удельная энергия связи — энергия связи, приходящаяся на один нуклон. Чем выше удельная энергия связи, тем более устойчиво ядро и тем больше энергии требуется для удаления из него нуклона.

Удельная энергия связи ($\epsilon$) вычисляется по формуле: $\epsilon = \frac{E_b}{A}$ где $E_b$ — полная энергия связи ядра, а $A$ — массовое число (общее количество протонов и нейтронов в ядре).

Вычислим удельную энергию связи для каждого из представленных ядер.

Хром ($_{24}^{57}\text{Cr}$)

Массовое число $A_{Cr} = 57$. Удельная энергия связи:

$\epsilon_{Cr} = \frac{E_{b, Cr}}{A_{Cr}} = \frac{52,79 \text{ МэВ}}{57} \approx 0,92614 \text{ МэВ/нуклон}$

Ванадий ($_{23}^{54}\text{V}$)

Массовое число $A_{V} = 54$. Удельная энергия связи:

$\epsilon_{V} = \frac{E_{b, V}}{A_{V}} = \frac{49,93 \text{ МэВ}}{54} \approx 0,92463 \text{ МэВ/нуклон}$

Скандий ($_{21}^{48}\text{Sc}$)

Массовое число $A_{Sc} = 48$. Удельная энергия связи:

$\epsilon_{Sc} = \frac{E_{b, Sc}}{A_{Sc}} = \frac{44,50 \text{ МэВ}}{48} \approx 0,92708 \text{ МэВ/нуклон}$

Теперь сравним полученные значения удельных энергий связи:

$\epsilon_{Sc} \approx 0,92708 \text{ МэВ/нуклон}$

$\epsilon_{Cr} \approx 0,92614 \text{ МэВ/нуклон}$

$\epsilon_{V} \approx 0,92463 \text{ МэВ/нуклон}$

Из сравнения видно, что $\epsilon_{Sc} > \epsilon_{Cr} > \epsilon_{V}$.

Наибольшей удельной энергией связи обладает ядро скандия $_{21}^{48}\text{Sc}$. Это означает, что нуклоны в этом ядре связаны наиболее прочно, и для того, чтобы выбить из него нейтрон, потребуется приложить наибольшую энергию.

Ответ:

труднее всего выбить нейтрон из ядра $_{21}^{48}\text{Sc}$. Это соответствует варианту ответа 4.