Номер 2, страница 322 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Глава 12. Физика атомного ядра. Параграф 85. Примеры решения задач по теме «Закон радиоактивного распада». Образцы заданий ЕГЭ - номер 2, страница 322.

Условие.

2. Образец, содержащий радий, за 1 с испускает $3,7 \cdot 10^{10}$ $\alpha$-частиц. За 1 ч выделяется энергия 100 Дж. Чему равна скорость $\alpha$-частицы? Энергией отдачи ядер, $\gamma$-излучением и релятивистскими эффектами можно пренебречь. Молярная масса гелия 0,004 кг/моль.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Число испускаемых частиц в секунду, $n_1 = 3,7 \cdot 10^{10}$ с⁻¹
Время выделения энергии, $t_2 = 1$ ч
Выделившаяся энергия, $E_{total} = 100$ Дж
Молярная масса гелия, $M = 0,004$ кг/моль
Постоянная Авогадро, $N_A \approx 6,022 \cdot 10^{23}$ моль⁻¹

$t_2 = 1 \text{ ч} = 1 \cdot 3600 \text{ с} = 3600 \text{ с}$

Найти:

$v_{\alpha}$ — ?

Решение:

Согласно условию задачи, вся выделяемая энергия $E_{total}$ переходит в кинетическую энергию испускаемых $\alpha$-частиц. Энергией отдачи ядер, $\gamma$-излучением и релятивистскими эффектами можно пренебречь. Следовательно, полная выделившаяся энергия равна сумме кинетических энергий всех $\alpha$-частиц, испущенных за время $t_2$.

Сначала найдем общее количество $\alpha$-частиц $N$, которое испускает образец за время $t_2 = 1$ час (3600 с). Известно, что за 1 секунду испускается $n_1$ частиц:

$N = n_1 \cdot t_2$

Полная энергия $E_{total}$ равна произведению числа частиц $N$ на кинетическую энергию одной $\alpha$-частицы $E_k$:

$E_{total} = N \cdot E_k = (n_1 \cdot t_2) \cdot E_k$

Кинетическая энергия одной $\alpha$-частицы определяется по классической формуле:

$E_k = \frac{m_{\alpha} v_{\alpha}^2}{2}$

где $m_{\alpha}$ — масса одной $\alpha$-частицы, а $v_{\alpha}$ — её скорость.

$\alpha$-частица является ядром атома гелия, поэтому её массу можно найти, разделив молярную массу гелия $M$ на число Авогадро $N_A$:

$m_{\alpha} = \frac{M}{N_A}$

Теперь объединим все формулы, подставив выражения для $m_{\alpha}$ и $E_k$ в формулу для полной энергии:

$E_{total} = n_1 \cdot t_2 \cdot \frac{m_{\alpha} v_{\alpha}^2}{2} = n_1 \cdot t_2 \cdot \frac{M \cdot v_{\alpha}^2}{2 \cdot N_A}$

Из этого уравнения выразим искомую скорость $v_{\alpha}$:

$v_{\alpha}^2 = \frac{2 \cdot E_{total} \cdot N_A}{n_1 \cdot t_2 \cdot M}$

$v_{\alpha} = \sqrt{\frac{2 \cdot E_{total} \cdot N_A}{n_1 \cdot t_2 \cdot M}}$

Подставим числовые значения в системе СИ и произведем расчет:

$v_{\alpha} = \sqrt{\frac{2 \cdot 100 \text{ Дж} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}}{3,7 \cdot 10^{10} \text{ с}^{-1} \cdot 3600 \text{ с} \cdot 0,004 \text{ кг/моль}}}$

$v_{\alpha} = \sqrt{\frac{1,2044 \cdot 10^{26}}{5,328 \cdot 10^{11}}} \approx \sqrt{0,22605 \cdot 10^{15}} \approx \sqrt{2,2605 \cdot 10^{14}} \text{ м/с}$

$v_{\alpha} \approx 1,503 \cdot 10^7 \text{ м/с}$

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с точностью данных в условии), получаем:

$v_{\alpha} \approx 1,5 \cdot 10^7 \text{ м/с}$

Ответ: скорость $\alpha$-частицы равна $1,5 \cdot 10^7$ м/с.