Номер 1, страница 358 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Вопросы к параграфу. Параграф 96. Открытие позитрона. Античастицы. Глава 13. Элементарные частицы - номер 1, страница 358.

Условие.

1. Чему равна частота $\gamma$-квантов, возникающих при аннигиляции медленно движущихся электрона и позитрона?

Решение.

Решение 2.

1. Аннигиляция — это процесс превращения частицы и античастицы при их столкновении в другие частицы, отличные от исходных. В случае аннигиляции электрона ($e^−$) и его античастицы, позитрона ($e^+$), их масса полностью переходит в энергию в виде электромагнитного излучения — гамма-квантов ($\gamma$).

Дано:

Масса покоя электрона (и позитрона): $m_e = 9.11 \times 10^{-31}$ кг

Постоянная Планка: $h = 6.626 \times 10^{-34}$ Дж·с

Скорость света в вакууме: $c = 3 \times 10^{8}$ м/с

Скорости электрона и позитрона малы, их кинетической энергией можно пренебречь.

Найти:

Частота $\gamma$-кванта: $\nu$

Решение:

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия системы до аннигиляции равна полной энергии системы после нее. До аннигиляции полная энергия системы состоит из энергий покоя электрона и позитрона. Поскольку в условии сказано, что частицы движутся медленно, их кинетической энергией можно пренебречь.

Энергия покоя каждой частицы определяется знаменитой формулой Эйнштейна: $E_0 = m_e c^2$

Таким образом, полная начальная энергия системы равна сумме энергий покоя двух частиц: $E_{нач} = E_{e^-} + E_{e^+} = m_e c^2 + m_e c^2 = 2m_e c^2$

Согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс системы до взаимодействия должен быть равен суммарному импульсу после. Так как частицы движутся медленно, их суммарный импульс в системе центра масс близок к нулю. Чтобы суммарный импульс после аннигиляции также был равен нулю, должен образоваться не один, а как минимум два $\gamma$-кванта, разлетающихся в противоположных направлениях с одинаковыми по модулю импульсами. Следовательно, их энергии и частоты также будут одинаковы.

Полная энергия после аннигиляции — это сумма энергий двух образовавшихся $\gamma$-квантов: $E_{кон} = E_{\gamma} + E_{\gamma} = 2E_{\gamma}$

Энергия одного $\gamma$-кванта связана с его частотой $\nu$ формулой Планка: $E_{\gamma} = h\nu$

Применяя закон сохранения энергии, приравниваем начальную и конечную энергии: $E_{нач} = E_{кон}$ $2m_e c^2 = 2h\nu$

Из этого равенства можно выразить энергию одного фотона, а затем и его частоту: $h\nu = m_e c^2$ $\nu = \frac{m_e c^2}{h}$

Теперь подставим численные значения и произведем расчет: $\nu = \frac{(9.11 \times 10^{-31} \text{ кг}) \times (3 \times 10^8 \text{ м/с})^2}{6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж·с}} = \frac{9.11 \times 10^{-31} \times 9 \times 10^{16}}{6.626 \times 10^{-34}} \text{ Гц}$ $\nu = \frac{81.99 \times 10^{-15}}{6.626 \times 10^{-34}} \text{ Гц} \approx 12.374 \times 10^{19} \text{ Гц} \approx 1.24 \times 10^{20} \text{ Гц}$

Ответ: частота каждого из возникающих $\gamma$-квантов равна приблизительно $1.24 \times 10^{20}$ Гц.