Страница 358 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Вспомните, как зависит кривизна траектории заряженной частицы в магнитном поле от скорости частицы.

Решение

Когда заряженная частица с зарядом $q$ и массой $m$ движется со скоростью $v$ в магнитном поле с индукцией $B$, на неё действует сила Лоренца. Если вектор скорости перпендикулярен вектору магнитной индукции, то величина силы Лоренца равна: $F_Л = |q|vB$

Эта сила всегда направлена перпендикулярно скорости частицы, поэтому она не изменяет величину скорости (кинетическую энергию), а только изменяет направление её движения. Сила Лоренца в этом случае является центростремительной силой, которая заставляет частицу двигаться по окружности.

Центростремительная сила, действующая на тело, движущееся по окружности радиуса $R$, определяется по второму закону Ньютона: $F_ц = ma_ц = \frac{mv^2}{R}$

Приравнивая выражения для силы Лоренца и центростремительной силы, получаем: $|q|vB = \frac{mv^2}{R}$

Из этого соотношения можно выразить радиус траектории $R$: $R = \frac{mv}{|q|B}$

Кривизна траектории $K$ по определению является величиной, обратной радиусу кривизны траектории. Для окружности радиус кривизны постоянен и равен радиусу самой окружности $R$. Таким образом: $K = \frac{1}{R}$

Подставив в эту формулу выражение для радиуса $R$, мы получим зависимость кривизны траектории от скорости частицы: $K = \frac{|q|B}{mv}$

Анализируя полученную формулу, можно сделать вывод, что для данной частицы (с постоянными $m$ и $q$) в данном магнитном поле (с постоянной индукцией $B$) кривизна траектории $K$ обратно пропорциональна скорости $v$.

Ответ:

Кривизна траектории заряженной частицы в магнитном поле обратно пропорциональна скорости частицы ($K \propto \frac{1}{v}$). Это означает, что чем больше скорость частицы, тем меньше кривизна её траектории (и, соответственно, тем больше радиус траектории).

Подумайте, почему траектория частиц имеет вид спирали.

Решение

Траектория заряженной частицы в магнитном поле определяется силой Лоренца, а точнее ее магнитной составляющей. Эта сила всегда действует перпендикулярно как вектору скорости частицы $ \vec{v} $, так и вектору магнитной индукции $ \vec{B} $. Формула для этой силы выглядит так:

$ \vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B}) $

где $ q $ — это заряд частицы.

Спиральная (винтовая) траектория возникает в том случае, когда частица влетает в однородное магнитное поле под углом, который не равен 0°, 90° или 180°. Чтобы понять, почему так происходит, удобно разложить вектор скорости частицы $ \vec{v} $ на две составляющие:

1. Параллельная составляющая ($ \vec{v}_{\|} $), направленная вдоль линий магнитного поля $ \vec{B} $. На эту составляющую скорости магнитное поле не оказывает никакого влияния, потому что векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю. Следовательно, частица будет двигаться равномерно и прямолинейно в направлении этой составляющей.

2. Перпендикулярная составляющая ($ \vec{v}_{\perp} $), направленная перпендикулярно линиям магнитного поля $ \vec{B} $. На эту составляющую действует сила Лоренца, которая всегда перпендикулярна $ \vec{v}_{\perp} $ и направлена к центру некоторой окружности. Эта сила заставляет частицу двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, так как выполняет роль центростремительной силы. При этом модуль скорости $ v_{\perp} $ не меняется.

В результате одновременного участия в двух этих движениях — равномерном прямолинейном вдоль поля и равномерном вращении по окружности в плоскости поперек поля — частица движется по винтовой линии, или спирали. Шаг спирали определяется параллельной составляющей скорости, а радиус — перпендикулярной.

Ответ: Траектория частицы имеет вид спирали из-за сложения двух движений: равномерного прямолинейного движения вдоль линий магнитного поля и равномерного движения по окружности в плоскости, перпендикулярной этим линиям. Такое движение возникает, когда вектор скорости заряженной частицы направлен под углом к вектору магнитной индукции.

Электрон и позитрон — заряженные частицы. Нет ли нарушения закона сохранения заряда и массы при их исчезновении (аннигиляции)?

При аннигиляции электрона и позитрона нарушения фундаментальных законов сохранения не происходит. Этот процесс является яркой демонстрацией законов сохранения в релятивистской физике. Рассмотрим выполнение законов сохранения заряда и массы (энергии) по отдельности.

Электрон ($e^−$) и позитрон ($e^+$) являются частицей и античастицей друг для друга. Их заряды равны по величине, но противоположны по знаку. Заряд электрона равен элементарному заряду со знаком минус ($-e$), а заряд позитрона — со знаком плюс ($+e$).

Суммарный электрический заряд системы, состоящей из электрона и позитрона, до их взаимодействия (аннигиляции) равен нулю:

$Q_{до} = q_{e^−} + q_{e^+} = (-e) + (+e) = 0$

В результате аннигиляции образуются фотоны (гамма-кванты), которые являются электрически нейтральными частицами, то есть их заряд равен нулю. Как правило, образуется два фотона, чтобы выполнялся также закон сохранения импульса.

Суммарный электрический заряд системы после аннигиляции также равен нулю:

$Q_{после} = q_{\gamma} + q_{\gamma} = 0 + 0 = 0$

Таким образом, полный электрический заряд системы до реакции равен полному заряду после реакции ($Q_{до} = Q_{после}$), что означает, что закон сохранения заряда строго выполняется.

Ответ: Закон сохранения заряда не нарушается, так как суммарный заряд системы до и после аннигиляции равен нулю.

В классической физике закон сохранения массы гласит, что масса системы тел остается постоянной. Электрон и позитрон обладают массой покоя, каждая из которых равна $m_e \approx 9.11 \times 10^{-31}$ кг. Продукты их аннигиляции — фотоны — не имеют массы покоя ($m_{\gamma} = 0$). С точки зрения классической физики, масса покоя системы "исчезает" ($2m_e \to 0$), что выглядело бы как нарушение закона.

Однако в современной физике, согласно специальной теории относительности, масса и энергия эквивалентны и могут переходить друг в друга. Эта связь выражается знаменитой формулой Эйнштейна:

$E = mc^2$

где $E$ — энергия, $m$ — масса, а $c$ — скорость света в вакууме.

Фундаментальным является не закон сохранения массы, а объединенный закон сохранения энергии (часто называемый законом сохранения массы-энергии). При аннигиляции масса покоя электрона и позитрона не исчезает бесследно, а полностью преобразуется в энергию фотонов.

Энергия покоя системы до реакции равна:

$E_{до} = m_e c^2 + m_e c^2 = 2m_e c^2$

Эта энергия в точности равна суммарной энергии двух образовавшихся гамма-квантов:

$E_{после} = E_{\gamma_1} + E_{\gamma_2}$

Таким образом, $E_{до} = E_{после}$, и закон сохранения энергии выполняется.

Ответ: Классический закон сохранения массы нарушается, так как масса покоя частиц преобразуется в энергию фотонов. Однако фундаментальный закон сохранения энергии (массы-энергии) выполняется: полная энергия системы, включая энергию, эквивалентную массе покоя, остается неизменной.

1. Чему равна частота $\gamma$-квантов, возникающих при аннигиляции медленно движущихся электрона и позитрона?

1. Аннигиляция — это процесс превращения частицы и античастицы при их столкновении в другие частицы, отличные от исходных. В случае аннигиляции электрона ($e^−$) и его античастицы, позитрона ($e^+$), их масса полностью переходит в энергию в виде электромагнитного излучения — гамма-квантов ($\gamma$).

Дано:

Масса покоя электрона (и позитрона): $m_e = 9.11 \times 10^{-31}$ кг

Постоянная Планка: $h = 6.626 \times 10^{-34}$ Дж·с

Скорость света в вакууме: $c = 3 \times 10^{8}$ м/с

Скорости электрона и позитрона малы, их кинетической энергией можно пренебречь.

Найти:

Частота $\gamma$-кванта: $\nu$

Решение:

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия системы до аннигиляции равна полной энергии системы после нее. До аннигиляции полная энергия системы состоит из энергий покоя электрона и позитрона. Поскольку в условии сказано, что частицы движутся медленно, их кинетической энергией можно пренебречь.

Энергия покоя каждой частицы определяется знаменитой формулой Эйнштейна: $E_0 = m_e c^2$

Таким образом, полная начальная энергия системы равна сумме энергий покоя двух частиц: $E_{нач} = E_{e^-} + E_{e^+} = m_e c^2 + m_e c^2 = 2m_e c^2$

Согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс системы до взаимодействия должен быть равен суммарному импульсу после. Так как частицы движутся медленно, их суммарный импульс в системе центра масс близок к нулю. Чтобы суммарный импульс после аннигиляции также был равен нулю, должен образоваться не один, а как минимум два $\gamma$-кванта, разлетающихся в противоположных направлениях с одинаковыми по модулю импульсами. Следовательно, их энергии и частоты также будут одинаковы.

Полная энергия после аннигиляции — это сумма энергий двух образовавшихся $\gamma$-квантов: $E_{кон} = E_{\gamma} + E_{\gamma} = 2E_{\gamma}$

Энергия одного $\gamma$-кванта связана с его частотой $\nu$ формулой Планка: $E_{\gamma} = h\nu$

Применяя закон сохранения энергии, приравниваем начальную и конечную энергии: $E_{нач} = E_{кон}$ $2m_e c^2 = 2h\nu$

Из этого равенства можно выразить энергию одного фотона, а затем и его частоту: $h\nu = m_e c^2$ $\nu = \frac{m_e c^2}{h}$

Теперь подставим численные значения и произведем расчет: $\nu = \frac{(9.11 \times 10^{-31} \text{ кг}) \times (3 \times 10^8 \text{ м/с})^2}{6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж·с}} = \frac{9.11 \times 10^{-31} \times 9 \times 10^{16}}{6.626 \times 10^{-34}} \text{ Гц}$ $\nu = \frac{81.99 \times 10^{-15}}{6.626 \times 10^{-34}} \text{ Гц} \approx 12.374 \times 10^{19} \text{ Гц} \approx 1.24 \times 10^{20} \text{ Гц}$

Ответ: частота каждого из возникающих $\gamma$-квантов равна приблизительно $1.24 \times 10^{20}$ Гц.

2. Можно ли в пузырьковой камере наблюдать трек заряженной частицы с временем жизни $10^{-23}$ с?

Дано:

Найти:

Решение:

Для того чтобы трек заряженной частицы был зафиксирован в пузырьковой камере, частица должна пролететь в ней расстояние, достаточное для образования видимой цепочки пузырьков. Минимально различимая длина трека должна составлять хотя бы несколько микрометров, а для уверенного анализа — доли миллиметра или больше. Необходимо оценить, какое максимальное расстояние может пролететь частица с заданным временем жизни, прежде чем распадется.

Собственное время жизни частицы $\tau_0 = 10^{-23}$ с — это время, измеренное в системе отсчета, связанной с самой частицей. В лабораторной системе отсчета, относительно которой частица движется со скоростью $v$, ее время жизни $\tau$ будет больше из-за релятивистского эффекта замедления времени, описываемого специальной теорией относительности:

$\tau = \gamma \cdot \tau_0$

Здесь $\gamma$ — это лоренц-фактор, который зависит от скорости частицы:

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

За время жизни $\tau$ в лабораторной системе частица пролетит расстояние $L$, которое и будет представлять собой длину трека:

$L = v \cdot \tau = v \cdot \gamma \cdot \tau_0$

Скорость частицы $v$ всегда меньше скорости света $c$, но в экспериментах по физике высоких энергий может быть очень близка к ней. При $v \rightarrow c$, лоренц-фактор $\gamma \rightarrow \infty$, что теоретически позволяет частице пролететь значительное расстояние.

Давайте рассчитаем характерное расстояние, которое частица проходит за свое собственное время жизни. Это расстояние, которое свет прошел бы за время $\tau_0$:

$L_{\text{харак}} = c \cdot \tau_0 = (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \cdot (10^{-23} \text{ с}) = 3 \cdot 10^{-15}$ м.

Это расстояние сопоставимо с размером протона или нейтрона (около 1 фемтометра). Длина трека в камере будет в $\gamma$ раз (при $v \approx c$) больше этой величины:

$L \approx \gamma \cdot (3 \cdot 10^{-15} \text{ м})$

Даже для частиц, разогнанных до сверхвысоких энергий в самых мощных современных ускорителях (например, в Большом адронном коллайдере), лоренц-фактор $\gamma$ для тяжелых частиц достигает значений порядка $10^4 - 10^5$. Возьмем для оценки очень большое, но все еще реалистичное значение $\gamma = 10^5$:

$L \approx 10^5 \cdot (3 \cdot 10^{-15} \text{ м}) = 3 \cdot 10^{-10}$ м.

Это расстояние составляет всего 3 ангстрема, что сравнимо с размерами атома. Оно на много порядков меньше, чем минимально различимый трек в пузырьковой камере (микрометры). Даже при гипотетическом лоренц-факторе $\gamma = 10^8$ длина трека составила бы всего $3 \cdot 10^{-7}$ м (300 нанометров), что также недостаточно для наблюдения.

Частицы с временем жизни порядка $10^{-23}$ с распадаются за счет сильного взаимодействия. Их называют резонансами, так как они существуют настолько малое время, что не успевают покинуть область ядерного взаимодействия, в которой образовались. Их обнаружение возможно только косвенно, по анализу продуктов их распада.

Ответ: Нет, наблюдать трек заряженной частицы с временем жизни $10^{-23}$ с в пузырьковой камере невозможно. Расстояние, которое такая частица пролетает до распада, даже с учетом релятивистского замедления времени при максимально достижимых энергиях, на несколько порядков меньше разрешающей способности детектора.