Страница 220 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

1. Зависит ли положение максимумов освещённости, создаваемых дифракционной решёткой, от числа щелей?

1. Нет, положение главных максимумов освещённости, создаваемых дифракционной решёткой, не зависит от общего числа щелей. Оно определяется условием для главных максимумов, которое описывается следующей формулой:

$d \sin\theta = k\lambda$

где:

• $d$ – период дифракционной решётки (расстояние между центрами двух соседних щелей);
• $\theta$ – угол дифракции, определяющий направление на максимум;
• $k$ – порядок максимума (целое число: $k = 0, \pm1, \pm2, ...$);
• $\lambda$ – длина волны света.

Из этой формулы видно, что угловое положение ($\sin\theta$) максимумов зависит только от периода решётки $d$ и длины волны света $\lambda$.

Общее число щелей $N$ влияет на другие характеристики дифракционной картины:

• Яркость максимумов: Интенсивность главных максимумов пропорциональна квадрату числа щелей ($I \sim N^2$). Чем больше щелей, тем ярче максимумы.
• Резкость максимумов: С увеличением числа щелей $N$ главные максимумы становятся более узкими и чёткими.

Таким образом, увеличение числа щелей делает дифракционную картину более качественной (яркой и резкой), но не смещает положение главных максимумов.

Ответ: Нет, положение максимумов освещённости не зависит от числа щелей.

2. Что вы увидите, посмотрев на электрическую лампочку сквозь птичье перо?

Решение

Если посмотреть на источник света, такой как электрическая лампочка, сквозь птичье перо, можно наблюдать физическое явление, называемое дифракцией света.

Птичье перо имеет сложную структуру, состоящую из центрального стержня, от которого отходят бородки, а от них — более мелкие ворсинки. Эти ворсинки расположены очень близко друг к другу и образуют упорядоченную структуру с множеством параллельных щелей. Такая структура для проходящего через нее света работает как естественная дифракционная решетка.

Дифракционная решетка — это оптический прибор, который разлагает свет в спектр. Когда белый свет от лампочки (представляющий собой смесь электромагнитных волн разной длины) проходит через перо, световые волны разных цветов (с разной длиной волны) отклоняются на разные углы. Это явление описывается условием максимумов дифракционной решетки:

$d \sin\theta = k\lambda$

где $d$ — это расстояние между соседними ворсинками (период решетки), $\theta$ — угол отклонения света, $k$ — целое число, называемое порядком спектра (0, 1, 2, ...), а $\lambda$ — длина волны света.

Из формулы следует, что угол отклонения $\theta$ тем больше, чем больше длина волны $\lambda$. В видимом спектре наибольшую длину волны имеет красный свет, а наименьшую — фиолетовый. Поэтому красный свет будет отклоняться на самый большой угол, а фиолетовый — на самый малый.

В результате мы увидим не просто изображение лампочки, а целую дифракционную картину. В центре будет находиться яркое белое изображение лампочки (нулевой максимум, $k=0$), так как при $\theta=0$ все цвета сходятся в одной точке. По обе стороны от центрального изображения будут видны радужные полосы — спектры первого, второго и последующих порядков. В каждом из этих спектров цвета будут располагаться от фиолетового (ближе к центру) до красного (дальше от центра).

Ответ: Посмотрев на электрическую лампочку сквозь птичье перо, можно увидеть дифракционную картину: яркое изображение лампочки в центре, а по обеим сторонам от него — радужные полосы (спектры), в которых фиолетовый цвет расположен ближе к центру, а красный — дальше.

3. Чем различаются спектры, получаемые с помощью призмы, от дифракционных спектров?

Спектры, получаемые с помощью призмы и дифракционной решетки, различаются по нескольким ключевым параметрам, обусловленным разными физическими явлениями, лежащими в основе их работы.

1. Физический принцип получения спектра

Призматический спектр возникает вследствие явления дисперсии света. Дисперсия — это зависимость показателя преломления вещества призмы ($n$) от длины волны ($\lambda$) проходящего через него света. Так как для света разного цвета (с разной длиной волны) показатель преломления различен, лучи разных цветов преломляются под разными углами, что и приводит к разложению белого света в спектр.

Дифракционный спектр образуется в результате явлений дифракции и последующей интерференции света на периодической структуре — дифракционной решетке. Свет от множества щелей решетки интерферирует, и для каждой длины волны максимумы интенсивности наблюдаются под определёнными углами, формируя спектр.

2. Порядок следования цветов

В спектре, полученном с помощью призмы, наименьшее отклонение от первоначального направления испытывает красный свет (как имеющий наибольшую длину волны), а наибольшее — фиолетовый (с наименьшей длиной волны). Таким образом, порядок цветов (от наименее отклоненного к наиболее отклоненному) следующий: красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый.

В дифракционном спектре (для каждого порядка $k > 0$) порядок цветов обратный. Наименьшее отклонение имеет фиолетовый свет, а наибольшее — красный. Это следует из формулы условия максимумов для дифракционной решетки: $d \sin\phi = k\lambda$, где $d$ — период решетки, $\phi$ — угол дифракции, $k$ — порядок спектра. Из формулы видно, что при фиксированном порядке $k$ угол отклонения $\phi$ тем больше, чем больше длина волны $\lambda$.

3. Характер (равномерность) спектра

Призматический спектр является нерациональным (неравномерным). Он сильно сжат в красной (длинноволновой) части и растянут в фиолетовой (коротковолновой). Это связано с нелинейной зависимостью показателя преломления от длины волны. Такая неравномерность делает призматические спектры менее удобными для точных измерений длин волн.

Дифракционный спектр является рациональным (практически равномерным). Угловое расстояние между спектральными линиями примерно пропорционально разности их длин волн. Это делает дифракционные решетки основным инструментом для точного спектрального анализа и измерения длин волн.

4. Количество спектров и распределение энергии

Призма дает только один спектр. В нем сосредоточена практически вся энергия света, прошедшего через призму, поэтому он, как правило, получается более ярким.

Дифракционная решетка создает несколько спектров (спектры первого, второго, третьего и т.д. порядков), которые располагаются симметрично относительно центрального (нулевого) максимума. Энергия падающего света распределяется между всеми этими порядками, поэтому каждый отдельный спектр получается менее интенсивным. Кроме того, спектры высших порядков могут перекрываться (например, красный цвет первого порядка может наложиться на фиолетовый цвет второго порядка).

Ответ:Спектры, получаемые с помощью призмы, отличаются от дифракционных по следующим основным параметрам:
1. Физическая основа: призматический спектр основан на дисперсии света, а дифракционный — на дифракции и интерференции.
2. Порядок цветов: в призматическом спектре сильнее всего отклоняется фиолетовый свет, а в дифракционном — красный.
3. Характер спектра: призматический спектр неравномерный (растянут в фиолетовой части), а дифракционный — практически равномерный.
4. Количество и яркость: призма дает один яркий спектр, а дифракционная решетка — несколько менее ярких спектров разных порядков.

1. Дифракционная решётка с периодом $d$ освещается нормально падающим световым пучком с длиной волны $\lambda$. Какое из приведённых ниже выражений определяет угол $\alpha$, под которым наблюдается второй главный максимум?

1) $\sin \alpha = 2\lambda/d$

2) $\sin \alpha = d/(2\lambda)$

3) $\cos \alpha = 2\lambda/d$

4) $\cos \alpha = d/(2\lambda)$

1. Дано:

Период дифракционной решётки: $d$
Длина волны света: $λ$
Порядок главного максимума: $k = 2$

Найти:

Выражение для угла $α$, под которым наблюдается второй главный максимум.

Решение:

Условие наблюдения главных максимумов дифракционной картины при нормальном падении света на решётку описывается формулой дифракционной решётки:

$d \sin\alpha = k\lambda$

где:
$d$ — период решётки,
$\alpha$ — угол, под которым наблюдается максимум,
$k$ — порядок максимума (целое число: $k = 0, 1, 2, ...$),
$\lambda$ — длина волны света.

В задаче требуется найти угол, соответствующий второму главному максимуму. Для второго главного максимума порядок $k$ равен 2.

Подставим значение $k=2$ в формулу дифракционной решётки:

$d \sin\alpha = 2\lambda$

Теперь выразим $\sin\alpha$ из этого уравнения, чтобы получить искомое выражение:

$\sin\alpha = \frac{2\lambda}{d}$

Это выражение соответствует варианту ответа под номером 1.

Ответ: 1) $\sin \alpha = 2\lambda/d$.

2. Луч лазера направляется перпендикулярно плоскости дифракционной решётки. Расстояние между нулевым и первым дифракционными максимумами на удалённом (расстояние до экрана $L \gg 10 \text{ см}$) экране равно 10 см. Расстояние между дифракционными максимумами первого порядка примерно равно

1) 5 см

2) 10 см

3) 20 см

4) 40 см

Дано:

Расстояние между нулевым и первым дифракционными максимумами, $x_1 = 10 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$x_1 = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Расстояние между дифракционными максимумами первого порядка, $\Delta x$

Решение:

Дифракционная картина, наблюдаемая на экране при прохождении света через дифракционную решётку, симметрична относительно центрального (нулевого) максимума. Нулевой максимум (порядок $k=0$) находится в центре картины.

Максимумы первого порядка соответствуют $k=1$ и $k=-1$. Они располагаются по обе стороны от центрального максимума на одинаковом расстоянии от него.

Из условия задачи известно, что расстояние между нулевым и первым ($k=1$) максимумами составляет 10 см. Обозначим это расстояние как $x_1$.

$x_1 = 10 \text{ см}$

Мы ищем расстояние между двумя максимумами первого порядка, то есть между максимумом с $k=1$ и максимумом с $k=-1$. Обозначим это расстояние $\Delta x$.

Поскольку картина симметрична, расстояние от центра (нулевого максимума) до максимума $k=-1$ также равно 10 см.

Таким образом, один максимум первого порядка находится на расстоянии 10 см справа от центра, а другой — на расстоянии 10 см слева от центра. Полное расстояние между ними будет суммой этих двух расстояний.

$\Delta x = x_1 + |-x_1| = 10 \text{ см} + 10 \text{ см} = 20 \text{ см}$

Этот результат соответствует варианту ответа 3).

Ответ: 3) 20 см.

3. На дифракционную решётку с периодом 0,0066 мм падает по нормали плоская монохроматическая волна. Длина волны 550 нм. Какое максимальное количество дифракционных максимумов можно наблюдать с помощью этой решётки для данной световой волны?

1) 11

2) 24

3) 3

4) 22

Дано:

Найти:

$N$ — максимальное количество дифракционных максимумов.

Решение:

Условие наблюдения дифракционных максимумов при нормальном падении света на решётку определяется формулой:

$d \sin\theta_k = k\lambda$

где $d$ — период решётки, $\theta_k$ — угол, под которым наблюдается максимум $k$-го порядка, $\lambda$ — длина волны, $k$ — порядок максимума, который может принимать целые значения ($k = 0, \pm1, \pm2, \dots$).

Максимумы можно наблюдать только в том случае, если для угла дифракции $\theta_k$ существует реальное значение. Это накладывает ограничение на синус угла:

$|\sin\theta_k| \le 1$

Из формулы дифракционной решётки выразим $\sin\theta_k$:

$\sin\theta_k = \frac{k\lambda}{d}$

Подставив это выражение в условие существования, получим:

$\left|\frac{k\lambda}{d}\right| \le 1 \quad \implies \quad |k| \le \frac{d}{\lambda}$

Это неравенство позволяет найти максимальный возможный порядок максимума $k_{max}$. Вычислим значение дроби $\frac{d}{\lambda}$:

$\frac{d}{\lambda} = \frac{6,6 \times 10^{-6} \text{ м}}{5,5 \times 10^{-7} \text{ м}} = \frac{66 \times 10^{-7} \text{ м}}{5,5 \times 10^{-7} \text{ м}} = \frac{66}{5,5} = 12$

Таким образом, условие для порядка максимума принимает вид:

$|k| \le 12$

Поскольку $k$ является целым числом, максимальный порядок $k_{max}$ равен 12. Это означает, что наблюдаются максимумы со следующими порядками:

$k = -12, -11, \dots, -1, 0, 1, \dots, 11, 12$

Общее число максимумов складывается из:

• одного центрального максимума (при $k=0$);
• 12 максимумов справа от центра (положительные порядки от 1 до 12);
• 12 максимумов слева от центра (отрицательные порядки от -1 до -12).

Полное число наблюдаемых максимумов равно: $N_{полное} = 12 (\text{справа}) + 12 (\text{слева}) + 1 (\text{центр}) = 25$.

В некоторых случаях под "количеством дифракционных максимумов" подразумевают только боковые максимумы (т.е. все, кроме центрального, $k=0$), так как центральный максимум соответствует недифрагировавшему свету. В этом случае их количество будет:

$N = 2 \times k_{max} = 2 \times 12 = 24$

Этот результат соответствует одному из предложенных вариантов ответа.

Ответ: 24

4. На дифракционную решётку с периодом 0,004 мм падает по нормали плоская монохроматическая волна. Количество дифракционных максимумов, наблюдаемых с помощью этой решётки, равно 19. Чему равна длина волны света?

1) 640 нм; 2) 560 нм; 3) 440 нм; 4) 580 нм.

Дано:

Период дифракционной решётки $d = 0,004$ мм

Количество дифракционных максимумов $N = 19$

$d = 0,004 \text{ мм} = 0,004 \times 10^{-3} \text{ м} = 4 \times 10^{-6} \text{ м}$

Найти:

Длину волны света $\lambda$.

Решение:

Условие наблюдения максимумов в дифракционной картине, получаемой с помощью дифракционной решётки, задаётся формулой:

$d \sin\varphi_k = k\lambda$

где $d$ — период решётки, $\varphi_k$ — угол, под которым наблюдается максимум, $k$ — порядок максимума (целое число: $k = 0, \pm1, \pm2, ...$), $\lambda$ — длина волны света.

Общее количество наблюдаемых максимумов $N$ связано с максимальным порядком максимума $k_{max}$, который можно наблюдать. Дифракционная картина симметрична относительно центрального максимума ($k=0$). Таким образом, общее число максимумов равно центральному максимуму плюс удвоенное количество максимумов с одной стороны:

$N = 2k_{max} + 1$

Из условия задачи $N = 19$. Найдем максимальный порядок $k_{max}$:

$19 = 2k_{max} + 1$

$2k_{max} = 19 - 1$

$2k_{max} = 18$

$k_{max} = 9$

Это означает, что самый высокий наблюдаемый порядок максимума — девятый.

Для того чтобы максимум $k$-го порядка мог наблюдаться, должно выполняться условие $\sin\varphi_k \le 1$. Из формулы дифракционной решётки имеем $\sin\varphi_k = \frac{k\lambda}{d}$. Следовательно, для наблюдаемого максимума должно быть верно неравенство:

$\frac{k\lambda}{d} \le 1$

Поскольку максимум 9-го порядка наблюдается, а 10-го (следующего) — нет, мы можем составить систему из двух неравенств:

1. Для $k = 9$ (наблюдается): $\frac{9\lambda}{d} \le 1$

2. Для $k = 10$ (не наблюдается): $\frac{10\lambda}{d} > 1$

Из этих неравенств можно найти диапазон возможных значений для длины волны $\lambda$:

$9\lambda \le d \implies \lambda \le \frac{d}{9}$

$10\lambda > d \implies \lambda > \frac{d}{10}$

Таким образом, длина волны находится в интервале:

$\frac{d}{10} < \lambda \le \frac{d}{9}$

Подставим значение периода решётки $d = 4 \times 10^{-6}$ м:

$\frac{4 \times 10^{-6} \text{ м}}{10} < \lambda \le \frac{4 \times 10^{-6} \text{ м}}{9}$

$0,4 \times 10^{-6} \text{ м} < \lambda \le 0,444... \times 10^{-6} \text{ м}$

Переведём метры в нанометры ($1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$):

$400 \times 10^{-9} \text{ м} < \lambda \le 444,4... \times 10^{-9} \text{ м}$

$400 \text{ нм} < \lambda \le 444,4 \text{ нм}$

Среди предложенных вариантов ответа только один попадает в этот диапазон:

1) 640 нм

2) 560 нм

3) 440 нм

4) 580 нм

Значение 440 нм удовлетворяет условию $400 \text{ нм} < 440 \text{ нм} \le 444,4 \text{ нм}$.

Ответ: 440 нм.