Номер 4, страница 220 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

4. На дифракционную решётку с периодом 0,004 мм падает по нормали плоская монохроматическая волна. Количество дифракционных максимумов, наблюдаемых с помощью этой решётки, равно 19. Чему равна длина волны света?

1) 640 нм; 2) 560 нм; 3) 440 нм; 4) 580 нм.

Дано:

Период дифракционной решётки $d = 0,004$ мм

Количество дифракционных максимумов $N = 19$

$d = 0,004 \text{ мм} = 0,004 \times 10^{-3} \text{ м} = 4 \times 10^{-6} \text{ м}$

Найти:

Длину волны света $\lambda$.

Решение:

Условие наблюдения максимумов в дифракционной картине, получаемой с помощью дифракционной решётки, задаётся формулой:

$d \sin\varphi_k = k\lambda$

где $d$ — период решётки, $\varphi_k$ — угол, под которым наблюдается максимум, $k$ — порядок максимума (целое число: $k = 0, \pm1, \pm2, ...$), $\lambda$ — длина волны света.

Общее количество наблюдаемых максимумов $N$ связано с максимальным порядком максимума $k_{max}$, который можно наблюдать. Дифракционная картина симметрична относительно центрального максимума ($k=0$). Таким образом, общее число максимумов равно центральному максимуму плюс удвоенное количество максимумов с одной стороны:

$N = 2k_{max} + 1$

Из условия задачи $N = 19$. Найдем максимальный порядок $k_{max}$:

$19 = 2k_{max} + 1$

$2k_{max} = 19 - 1$

$2k_{max} = 18$

$k_{max} = 9$

Это означает, что самый высокий наблюдаемый порядок максимума — девятый.

Для того чтобы максимум $k$-го порядка мог наблюдаться, должно выполняться условие $\sin\varphi_k \le 1$. Из формулы дифракционной решётки имеем $\sin\varphi_k = \frac{k\lambda}{d}$. Следовательно, для наблюдаемого максимума должно быть верно неравенство:

$\frac{k\lambda}{d} \le 1$

Поскольку максимум 9-го порядка наблюдается, а 10-го (следующего) — нет, мы можем составить систему из двух неравенств:

1. Для $k = 9$ (наблюдается): $\frac{9\lambda}{d} \le 1$

2. Для $k = 10$ (не наблюдается): $\frac{10\lambda}{d} > 1$

Из этих неравенств можно найти диапазон возможных значений для длины волны $\lambda$:

$9\lambda \le d \implies \lambda \le \frac{d}{9}$

$10\lambda > d \implies \lambda > \frac{d}{10}$

Таким образом, длина волны находится в интервале:

$\frac{d}{10} < \lambda \le \frac{d}{9}$

Подставим значение периода решётки $d = 4 \times 10^{-6}$ м:

$\frac{4 \times 10^{-6} \text{ м}}{10} < \lambda \le \frac{4 \times 10^{-6} \text{ м}}{9}$

$0,4 \times 10^{-6} \text{ м} < \lambda \le 0,444... \times 10^{-6} \text{ м}$

Переведём метры в нанометры ($1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$):

$400 \times 10^{-9} \text{ м} < \lambda \le 444,4... \times 10^{-9} \text{ м}$

$400 \text{ нм} < \lambda \le 444,4 \text{ нм}$

Среди предложенных вариантов ответа только один попадает в этот диапазон:

1) 640 нм

2) 560 нм

3) 440 нм

4) 580 нм

Значение 440 нм удовлетворяет условию $400 \text{ нм} < 440 \text{ нм} \le 444,4 \text{ нм}$.

Ответ: 440 нм.