Номер 2, страница 224 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

2. На дифракционную решётку, имеющую период $d = 1,2 \cdot 10^{-3}$ см, падает по нормали монохроматическая волна. Оцените длину волны $\lambda$, если угол между спектрами второго и третьего порядков $\Delta \varphi = 2^\circ 30^\prime$.

Дано:

Период дифракционной решётки $d = 1,2 \cdot 10^{-3} \text{ см}$
Угол между спектрами второго и третьего порядков $\Delta\phi = 2^\circ30'$
Порядки спектров $k_2 = 2$, $k_3 = 3$

$d = 1,2 \cdot 10^{-3} \text{ см} = 1,2 \cdot 10^{-5} \text{ м}$
$\Delta\phi = 2^\circ30' = 2,5^\circ = 2,5 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад} \approx 0,0436 \text{ рад}$

Найти:

Длину волны $\lambda$.

Решение:

Условие дифракционных максимумов для решётки при нормальном падении света на неё описывается формулой:
$d \sin\phi_k = k \lambda$
где $d$ — период решётки, $\phi_k$ — угол дифракции, под которым наблюдается максимум $k$-го порядка, $k$ — целое число (порядок спектра), $\lambda$ — длина волны света.

Запишем это уравнение для второго ($k=2$) и третьего ($k=3$) порядков спектра:
$d \sin\phi_2 = 2 \lambda$ (1)
$d \sin\phi_3 = 3 \lambda$ (2)

По условию задачи, угол между спектрами второго и третьего порядков $\Delta\phi = \phi_3 - \phi_2$. Так как этот угол мал ($\Delta\phi = 2,5^\circ$), можно предположить, что и сами углы дифракции $\phi_2$ и $\phi_3$ также малы. Для малых углов, выраженных в радианах, справедливо приближение $\sin\phi \approx \phi$. Слово "Оцените" в условии задачи также указывает на возможность использования таких приближений.

Применим это приближение к уравнениям (1) и (2):
$d \cdot \phi_2 \approx 2 \lambda$
$d \cdot \phi_3 \approx 3 \lambda$

Из этих уравнений выразим углы $\phi_2$ и $\phi_3$:
$\phi_2 \approx \frac{2\lambda}{d}$
$\phi_3 \approx \frac{3\lambda}{d}$

Теперь подставим эти выражения в формулу для разности углов $\Delta\phi$:
$\Delta\phi = \phi_3 - \phi_2 \approx \frac{3\lambda}{d} - \frac{2\lambda}{d} = \frac{\lambda}{d}$

Из полученного соотношения $\Delta\phi \approx \frac{\lambda}{d}$ выразим искомую длину волны $\lambda$:
$\lambda \approx d \cdot \Delta\phi$

Подставим числовые значения из блока "Дано" в систему СИ. Угол $\Delta\phi$ должен быть выражен в радианах:
$\lambda \approx (1,2 \cdot 10^{-5} \text{ м}) \cdot 0,0436 \text{ рад} \approx 5,232 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

Переведём результат в нанометры ($1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$) и округлим до двух значащих цифр, в соответствии с точностью исходных данных:
$\lambda \approx 523,2 \text{ нм} \approx 520 \text{ нм}$

Ответ: $\lambda \approx 520 \text{ нм}$.