Номер 3, страница 224 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

3. Дифракционная решётка, имеющая 400 штрихов на 1 мм, расположена параллельно экрану на расстоянии 1,5 м от него. На решётку перпендикулярно её плоскости направлен пучок света. Определите длину волны света, если расстояние на экране между вторыми максимумами слева и справа от центрального (нулевого) равно 60 см.

Дано:

Число штрихов на 1 мм, $N_l = 400 \text{ мм}^{-1}$

Расстояние от решётки до экрана, $L = 1,5 \text{ м}$

Расстояние на экране между вторыми максимумами, $X = 60 \text{ см}$

Порядок максимума, $k = 2$

Найти:

Длину волны света, $\lambda$

Решение:

Условие наблюдения главных максимумов в дифракционной картине задаётся формулой дифракционной решётки:

$d \sin\varphi = k\lambda$

где $d$ — период решётки (расстояние между соседними штрихами), $\varphi$ — угол дифракции (угол, под которым наблюдается максимум), $k$ — порядок максимума, $\lambda$ — длина волны света.

1. Определим период дифракционной решётки $d$. Он является величиной, обратной числу штрихов на единицу длины $N$:

$d = \frac{1}{N} = \frac{1}{4 \cdot 10^5 \text{ м}^{-1}} = 0,25 \cdot 10^{-5} \text{ м} = 2,5 \cdot 10^{-6} \text{ м}$

2. Расстояние на экране между вторыми максимумами ($k=2$) слева и справа от центрального составляет $X = 0,6 \text{ м}$. Дифракционная картина симметрична относительно центрального (нулевого) максимума. Поэтому расстояние от центрального максимума до одного из вторых максимумов $x$ равно половине общего расстояния $X$:

$x = \frac{X}{2} = \frac{0,6 \text{ м}}{2} = 0,3 \text{ м}$

3. Угол дифракции $\varphi$ связан с расстояниями $L$ и $x$ через тригонометрические соотношения. Из геометрии установки следует:

$\tan\varphi = \frac{x}{L}$

В задачах по оптике углы дифракции часто малы, что позволяет использовать приближение $\sin\varphi \approx \tan\varphi$. Проверим значение тангенса угла:

$\tan\varphi = \frac{0,3 \text{ м}}{1,5 \text{ м}} = 0,2$

Так как значение тангенса мало, приближение является допустимым. Таким образом, $\sin\varphi \approx \frac{x}{L}$.

4. Подставим полученное выражение для синуса угла в формулу дифракционной решётки:

$d \frac{x}{L} \approx k\lambda$

Из этого уравнения выразим искомую длину волны $\lambda$:

$\lambda \approx \frac{d \cdot x}{k \cdot L}$

5. Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\lambda \approx \frac{(2,5 \cdot 10^{-6} \text{ м}) \cdot 0,3 \text{ м}}{2 \cdot 1,5 \text{ м}} = \frac{0,75 \cdot 10^{-6}}{3} \text{ м} = 0,25 \cdot 10^{-6} \text{ м}$

Для удобства переведём результат в нанометры ($1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$):

$\lambda = 0,25 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 250 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 250 \text{ нм}$

Ответ: длина волны света равна $250 \text{ нм}$.