Номер 6, страница 224 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения. Параграф 59. Примеры решения задач по теме «Интерференция и дифракция света». Глава 7. Световые волны - номер 6, страница 224.

Условие.

6. На дифракционную решётку, имеющую 100 штрихов на 1 мм, по нормали к ней падает белый свет. Определите ширину спектра первого порядка на экране, если расстояние от линзы до экрана 2 м. Видимым считайте свет в диапазоне 400–760 нм.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Концентрация штрихов решетки: $N_0 = 100 \text{ штрихов/мм}$

Порядок спектра: $k = 1$

Расстояние от линзы до экрана: $L = 2 \text{ м}$

Длина волны фиолетового света: $\lambda_ф = 400 \text{ нм}$

Длина волны красного света: $\lambda_к = 760 \text{ нм}$

Переведем данные в систему СИ:

$N_0 = 100 \text{ мм}^{-1} = 100 \cdot 10^3 \text{ м}^{-1} = 10^5 \text{ м}^{-1}$

$\lambda_ф = 400 \text{ нм} = 400 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 4 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

$\lambda_к = 760 \text{ нм} = 760 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 7.6 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

Найти:

Ширину спектра первого порядка: $\Delta x$

Решение:

Ширина спектра первого порядка на экране определяется разностью положений красного и фиолетового краев спектра.

1. Найдем период дифракционной решетки $d$. Период — это расстояние между соседними штрихами. Он обратно пропорционален числу штрихов на единицу длины $N_0$.

$d = \frac{1}{N_0} = \frac{1}{10^5 \text{ м}^{-1}} = 10^{-5} \text{ м}$

2. Условие для наблюдения дифракционных максимумов на решетке имеет вид:

$d \sin\varphi = k\lambda$

где $\varphi$ — угол дифракции, $k$ — порядок максимума, $\lambda$ — длина волны света.

3. Положение максимума на экране, который находится на расстоянии $L$ от линзы, определяется по формуле:

$x = L \tan\varphi$

Для малых углов дифракции, что характерно для таких задач, можно использовать приближение $\tan\varphi \approx \sin\varphi$. Проверим это: для красного света максимальный угол дифракции $\sin\varphi_к = \frac{k\lambda_к}{d} = \frac{1 \cdot 7.6 \cdot 10^{-7} \text{ м}}{10^{-5} \text{ м}} = 0.076$. Это достаточно малое значение, поэтому приближение справедливо.

Тогда $x \approx L \sin\varphi$.

Подставим выражение для $\sin\varphi$ из условия максимумов:

$x \approx L \frac{k\lambda}{d}$

4. Найдем положения краев спектра первого порядка ($k=1$):

Положение фиолетового края ($x_ф$) для длины волны $\lambda_ф$:

$x_ф \approx L \frac{k\lambda_ф}{d}$

Положение красного края ($x_к$) для длины волны $\lambda_к$:

$x_к \approx L \frac{k\lambda_к}{d}$

5. Ширина спектра $\Delta x$ — это разность между этими положениями:

$\Delta x = x_к - x_ф \approx L \frac{k\lambda_к}{d} - L \frac{k\lambda_ф}{d} = \frac{Lk}{d}(\lambda_к - \lambda_ф)$

6. Подставим числовые значения и вычислим ширину спектра:

$\Delta x \approx \frac{2 \text{ м} \cdot 1}{10^{-5} \text{ м}} (7.6 \cdot 10^{-7} \text{ м} - 4 \cdot 10^{-7} \text{ м})$

$\Delta x \approx 2 \cdot 10^5 \text{ м}^{-1} \cdot (3.6 \cdot 10^{-7} \text{ м}) = 7.2 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры:

$\Delta x = 0.072 \text{ м} = 7.2 \text{ см}$

Ответ: ширина спектра первого порядка на экране составляет $7.2 \text{ см}$.